Cho hình bình hành \(ABCD\) có góc \(A\) nhọn. Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của

Câu hỏi số 411079:

Vận dụng cao

Cho hình bình hành \(ABCD\) có góc \(A\) nhọn. Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên các đường thẳng \(AB,AD\).

a) Chứng minh \(AB.AH + AD.AK = A{C^2}\).

b) Trên hai đoạn thẳng \(BC,CD\) lần lượt lấy hai điểm \(M,N\,\,\,\left( {M \ne B,\,\,C} \right)\) sao cho hai tam giác \(ABM\) và \(ACN\) có diện tích bằng nhau; \(BD\) cắt \(AM\) và \(AN\) lần lượt tại \(E,F.\) Chứng minh \(\frac{{BM}}{{BC}} + \frac{{DN}}{{DC}} = 1\) và \(BE + DF > EF.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411079

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(AB.AH + AD.AK = A{C^2}\).

Kẻ \(BP \bot AC,DQ \bot AC\)

Xét \(\Delta ADQ\) và \(\Delta CBP\) ta có:

\(\begin{array}{l}AD = BC\,\,\left( {gt} \right)\\\angle AQD = \angle APB = {90^0}\\\angle DAQ = \angle BCP\,\,\,\left( {so\,\,\,le\,\,\,trong} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta AQD = \Delta CPB\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow AQ = CP \Rightarrow AQ + AP = AC \left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta APB\) và \(\Delta AHC\) ta có:

\(\angle A\,\,\,chung\)

\(\begin{array}{l}\angle APB = \angle AHC = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta APB \sim \Delta AHC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AP}}{{AH}} \Rightarrow AB.AH = AC.AP\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta được: \(AD.AK = AC.AQ\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) ta được:

\( \Rightarrow AB.AH + AD.AK = AC.AP + AC.AQ\) \( = AC.\left( {AP + AQ} \right) = A{C^2}\) (đpcm)

b) Trên hai đoạn thẳng \(BC,CD\) lần lượt lấy hai điểm \(M,N\,\,\,\left( {M \ne B,\,\,C} \right)\) sao cho hai tam giác \(ABM\) và \(ACN\) có diện tích bằng nhau; \(BD\) cắt \(AM\) và \(AN\) lần lượt tại \(E,F.\) Chứng minh \(\frac{{BM}}{{BC}} + \frac{{DN}}{{DC}} = 1\) và \(BE + DF > EF.\)

Hai tam giác \(ADN\) và \(ADC\)có chung chiều cao kẻ từ A \( \Rightarrow \frac{{DN}}{{DC}} = \frac{{{S_{ADN}}}}{{{S_{ADC}}}}\)

Tương tự ta có: \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{{S_{ABM}}}}{{{S_{ABC}}}}\)

Mà \({S_{ABM}} = {S_{ACN}}\) và \({S_{ABC}} = {S_{ADC}}\) (Vì \(ABCD\) là hình bình hành)

\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{{S_{ACN}}}}{{{S_{ADC}}}} \Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} + \frac{{DN}}{{DC}}\)\( = \frac{{{S_{ACN}}}}{{{S_{ADC}}}} + \frac{{{S_{ADN}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{{S_{ACN}} + {S_{ADN}}}}{{{S_{ADC}}}} = 1\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và BD \( \Rightarrow IA = IC\)

Ta có: \({S_{AMCN}} = {S_{ACM}} + {S_{ACN}} = {S_{ACM}} + {S_{ABM}}\)\( = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = {S_{ABD}}\)

Vì \(IA = IC\) nên: \({S_{AEF}} = {S_{AIE}} + {S_{AIF}}\) \( = {S_{CIE}} + {S_{CIF}} = {S_{CEF}} < {S_{EMCNF}}\)

\( \Rightarrow {S_{AEF}} < \frac{1}{2}{S_{AMCN}}\)\( \Rightarrow {S_{AEF}} < \frac{1}{2}{S_{ABC}}\)\( \Rightarrow EF < \frac{1}{2}BD\)

Mà \(BE + DF + EF = BD\)\( \Rightarrow BE + DF > EF\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link