Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = 3a, BC = 4a. \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\). Biết \(SB = 2a\sqrt 3 \), \(\widehat {SBC} = {30^0}\). Tính \({d_{\left[ {B;\left( {SAC} \right)} \right]}}\).

Câu 411195: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = 3a, BC = 4a. \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\). Biết \(SB = 2a\sqrt 3 \), \(\widehat {SBC} = {30^0}\). Tính \({d_{\left[ {B;\left( {SAC} \right)} \right]}}\).

A. \(\dfrac{{6a\sqrt {21} }}{7}\)

B. \(\dfrac{{6a\sqrt 7 }}{7}\)

C. \(\dfrac{{6a\sqrt {14} }}{7}\)

D. \(\dfrac{{6a\sqrt 7 }}{21}\)

Câu hỏi : 411195

Phương pháp giải:

- Trong \(\left( {SBC} \right)\) dựng \(SH \bot BC\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(BH\), từ đó tính \(CH\).

- Đổi tính \(d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)\) sang tính \(d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\).

- Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(HM \bot AC\,\,\left( {M \in AC} \right)\), trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(HK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\). Chứng minh \(HK \bot \left( {SAC} \right)\)

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(HK\).

Đáp án : B
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Trong \(\left( {SBC} \right)\) dựng \(SH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = BC\\SH \subset \left( {SBC} \right),\,\,SH \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

+ \(HB \cap \left( {SAC} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{{HC}}{{BC}}\).

+ \(BH = SB.\cos {30^0} = 3a\), \(BC = 4a \Rightarrow HC = a\).

\( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{a}{{4a}} = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 4d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(HM \bot AC\,\,\left( {M \in AC} \right)\), trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(HK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HM\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow AC \bot HK\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SM\\HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HK\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(BN \bot AC\,\,\left( {N \in AC} \right)\) \( \Rightarrow BN\parallel HM\).

+ \(\Delta ABC:\,\,BN = \dfrac{{AB.BC}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \dfrac{{3a.4a}}{{\sqrt {3{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{12a}}{5}\).

+ \(BN\parallel HM \Rightarrow \dfrac{{HM}}{{BN}} = \dfrac{{HC}}{{BC}} = \dfrac{1}{4}\).

\( \Rightarrow HM = \dfrac{1}{4}BN = \dfrac{{3a}}{5}\).

+ \(\Delta SBH:\,\,SH = SB.\sin {30^0} = a\sqrt 3 \).

+ \(\Delta SHM:\,\,HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{3a}}{5}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{9{a^2}}}{{25}}} }} = \dfrac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 4d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{6a\sqrt 7 }}{7}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.