Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({\log _2}\left( {mx} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right)\) vô nghiệm?
Câu 411313: Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({\log _2}\left( {mx} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right)\) vô nghiệm?
A. \(4\)
B. \(5\)
C. \(6\)
D. \(3\)
Quảng cáo
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Đưa về cùng cơ số 2.
- Giải phương trình logarit: \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) > 0\).
- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( x \right)\).
- Lập BBT của hàm số \(f\left( x \right)\), từ BBT tìm điều kiện của \(m\) để phương trình vô nghiệm.
-
Đáp án : A(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}mx > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx > 0\\x > - 1\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {mx} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {mx} \right) = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {mx} \right) = {\log _2}{\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow mx = {\left( {x + 1} \right)^2}\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Do \(x > - 1 \Leftrightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} > 0\) \( \Rightarrow mx \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0\).
Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{x} = f\left( x \right)\) với \(x > - 1,\,\,x \ne 0\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right).x - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} + 2x - {x^2} - 2x - 1}}{{{x^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương (*) vô nghiệm \( \Leftrightarrow 0 \le m < 4\).
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).
Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
