Cho 3 điểm \(A,\,\,B,\,C\) cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 411604:

Vận dụng cao

Cho 3 điểm \(A,\,\,B,\,C\) cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) vuông góc với \(AC\) tại \(C\), \(D\) là điểm di dộng trên dường thẳng \(\left( d \right)\). Từ \(B\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(AD\) tại \(H\) (\(H\) thuộc \(AD\)) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) tại \(M,\,\,N\).Tìm tập hợp các điểm \(M,\,\,N\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411604

Phương pháp giải

Dựa vào các yếu tố cố định.

Giải chi tiết

Phần thuận:

\(\angle ACD = {90^0}\) nên \(AD\) là đường kính của đường tròn \(\left( {ACD} \right)\).

\( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow A{M^2} = AB.AC \Rightarrow AM = \sqrt {AB.AC} \).

Vậy \(AM = AN\) không đổi do dó \(M,\,\,N\) thuộc đường tròn \(\left( {A;\,\,\sqrt {AB.AC} } \right)\).

\(D\) là điểm di động trên đường thẳng \(\left( d \right)\) nên \(M,\,\,N\) chuyển động trên đường tròn \(\left( {A;\,\,\sqrt {AB.AC} } \right)\).

Phần đảo:

Lấy điểm \(M\) bất kì thuộc đường tròn \(\left( {A;\,\,\sqrt {AB.AC} } \right)\).

Vẽ \(AH \bot MB\,\,\left( {H \in MB} \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại \(D\), \(MH\) cắt \(\left( {A;\,\,\sqrt {AB.AC} } \right)\) tại \(N\) ta có \(AM = AN = \sqrt {AB.AC} \).

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta ACD\) có: \(\angle A\) chung, \(\angle AHB = \angle ACD = {90^0}\).

\( \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta ACD\,\,\left( {g.g} \right)\).

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AB.AC\). Do đó \(A{M^2} = A{N^2} = AH.AD\).

Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta ADM\) có: \(\angle A\) chung; \(\dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AM}}\).

Tương tự \(N\) cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp \(\left( {ACD} \right)\).

Kết luận: Tập hợp các điểm \(M,\,\,N\) là đường tròn \(\left( {A;\,\,\sqrt {AB.AC} } \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link