Cho 3 điểm cố định \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng theo thứ tự đó. Trên đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 411611:

Vận dụng cao

Cho 3 điểm cố định \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng theo thứ tự đó. Trên đường thẳng \(\left( d \right)\) vuông góc với \(AB\) tại \(B\) lấy điểm \(D\) bất kì. Gọi \(H\) là trực tâm của \(DAC\). Tìm tập hợp điểm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp \(DAH\)?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411611

Phương pháp giải

Các tam giác đồng dạng, tỉ lệ các cạnh bằng nhau, tìm giao điểm của hai đường cao.

Giải chi tiết

Phần thuận:

\(AC\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(E\).

Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta BDC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle ABH = \angle DBC\,\,\left( { = {{90}^0}} \right);\\\angle BAH = \angle DBC\,\,\left( { = {{90}^0}} \right);\\\angle BAH = \angle BDC\end{array}\)

Suy ra \(BD.BH = AB.BC\) (không đổi ) (1)

Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta BHE\) có: \(\angle B\) chung; \(\angle BAD = \angle BHE\) (tứ giác \(ADHE\) nội tiếp).

Do đó \(\Delta BAD \sim \Delta BHE\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BH}} = \dfrac{{BD}}{{BE}} \Rightarrow BA.BE = BD.BH\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) ta có \(BC = BE\).

\(E\) thuộc đường thẳng cố định \(AB\) suy ra \(E\) cố định.

\(OA = OE\) (\(O\) là tâm đường tròn \(\left( {DAH} \right)\)) nên \(O\) thuộc đường thẳng cố định, \(\left( m \right)\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AE\).

Giới hạn:

\(D\) là điểm di động trên đường thẳng \(\left( d \right)\) nên \(O\) chuyển động trên cả đường thẳng \(\left( m \right)\) (loại trừ điểm \(M\) là giao điểm của \(AC\) và \(\left( m \right)\)).

Phần đảo:

Vẽ \(O\) bất kì trên đường thẳng \(\left( m \right)\). Vẽ đường tròn \(\left( {O;OA} \right)\) cắt đường thẳng \(\left( d \right)\) lần lượt tại \(H\) và \(D\).

\(OA = OE\) nên \(E \in \left( {O;OA} \right)\).

Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta BHE\) có: \(\angle B\) chung; \(\angle BAD = \angle BHE\) (tứ giác \(ADHE\) nội tiếp).

Do đó \(\Delta BAD \sim \Delta BHE \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BH}} = \dfrac{{BD}}{{BE}} \Rightarrow BA.BE = BD.BH\).

Mà \(BE = BC\) do đó \(BA.BC = BD.BH\) \( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BH}}{{BC}}\).

Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta BDC\) có: \(\angle ABH = \angle DBC\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\), \(\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BH}}{{BC}}\).

\( \Rightarrow BAH \sim \Delta BDC\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \angle BAH = \angle BDC\).

Tam giác \(ADC\) có \(DB \bot AC,\,\,\) , suy ra H là trực tâm của tam giác .

Kết luận : Tập hợp các điểm O của đường tròn ngoại tiếp tác giác \(DAH\) là đường trung trực \(\left( m \right)\) của đoạn thẳng \(AE\) (trừ điểm \(M\) là giao điểm của \(AC\) với \(\left( m \right)\) (với \(E\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(B\)).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link