Cho biết \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\dfrac{{4{x^2} - 4x +

Câu hỏi số 411962:

Vận dụng cao

Cho biết \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\dfrac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\) và giả sử \(x{{\kern 1pt} _1} + 2{x_2} = \dfrac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với \(a,\)\(b\) là hai số nguyên dương. Khi đó \(a + b\) bằng

A. \(a + b = 14.\)

B. \(a + b = 13.\)

C. \(a + b = 16.\)

D. \(a + b = 11.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411962

Phương pháp giải

- Đưa phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\).

- Chứng minh hàm số \(f\left( t \right)\) đơn điệu trên khoảng xác định của chúng, từ đó suy ra \(u = v\).

- Giải phương trình tìm nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\).

- Tính \({x_1} + 2{x_2}\) và suy ra \(a,\,\,b\). Từ đó tính giá trị \(a + b\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _7}\left( {\dfrac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - {\log _7}\left( {2x} \right) + 4{x^2} - 4x + 1 = 2x\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) = {\log _7}\left( {2x} \right) + 2x\end{array}\)

Xét hàm đặc trung \(f\left( t \right) = {\log _7}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có : \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 7}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), do đó ta có \(4{x^2} - 4x + 1 = 2x \Leftrightarrow 4{x^2} - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{4}\).

TH1: \({x_1} = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{4},\,\,{x_2} = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{4}\) \( \Rightarrow {x_1} + 2{x_2} = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{4} + \dfrac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4} = \dfrac{1}{4}\left( {9 - \sqrt 5 } \right)\) \( \Rightarrow \) Khác với dạng đề bài cho, loại.

TH2: \({x_1} = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{4},\,\,{x_2} = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\) \( \Rightarrow {x_1} + 2{x_2} = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{4} + \dfrac{{6 + 2\sqrt 5 }}{4} = \dfrac{1}{4}\left( {9 + \sqrt 5 } \right)\) \( \Rightarrow \) \(a = 9,\,\,b = 5\).

Vậy \(a + b = 9 + 5 = 14\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.