Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a,\) trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD}

Câu hỏi số 412213:

Vận dụng cao

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a,\) trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) tại \(A\) ta lấy điểm \(S\) di động không trùng với \(A\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB,\,\,SD\) lần lượt là \(H,\,\,K.\) Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện

\(ACHK.\)

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{32}}.\)

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}.\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}.\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412213

Phương pháp giải

Lập tỉ lệ thể tích và đánh giá.

Giải chi tiết

Giả sử \(SA = x\,\,\left( {x > 0} \right)\). Gọi O là tâm của hình vuông \(ABCD\).

Ta có: \({V_{ACHK}} = {V_{A.OHK}} + {V_{C.OHK}} = 2{V_{A.OHK}}\) (do O là trung điểm AC)

Tam giác SAB vuông tại A, AH là đường cao

\( \Rightarrow SH.SB = S{A^2} \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SB}} = {\left( {\dfrac{{SA}}{{SB}}} \right)^2} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}} \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SB}} = \dfrac{{SK}}{{SD}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}\)

Ta có: \({S_{SHK}} = \dfrac{{SH}}{{SB}}.\dfrac{{SK}}{{SD}}.{S_{SBD}} = {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}} \right)^2}.{S_{SBD}}\) và

\(\begin{array}{l}{S_{OBH}} = {S_{ODK}} = \dfrac{{BH}}{{SB}}.\dfrac{{BO}}{{BD}}.{S_{SBD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}.\dfrac{1}{2}.{S_{SBD}} = \dfrac{{{a^2}}}{{2\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}}.{S_{SBD}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{OHK}} = \left( {1 - {{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}} \right)}^2} - 2.\dfrac{{{a^2}}}{{2\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}}} \right){S_{SBD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2} - {x^4} - {a^2}\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}{S_{SBD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2}{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}{S_{SBD}}\end{array}\)

Ta có: \(\dfrac{{{V_{A.OHK}}}}{{{V_{A.SBD}}}} = \dfrac{{{S_{OHK}}}}{{{S_{SBD}}}} = \dfrac{{{a^2}{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}} \Rightarrow \dfrac{{{V_{ACHK}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{{a^2}{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}\)\( \Rightarrow {V_{ACHK}} = \dfrac{{{a^2}{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{{{a^2}{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}.\dfrac{1}{3}x{a^2} = \dfrac{{{a^4}}}{3}.\dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}\)

Ta có: \(\dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{3} + {a^2}} \right)}^2}}} \le \dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {4\sqrt[4]{{\dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{3} + {a^2}}}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^3}}}{{16\sqrt {\dfrac{{{x^6}{a^2}}}{{27}}} }} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16a}}\)

\( \Rightarrow {V_{ACHK}} \le \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{x^2}}}{3} = {a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \).

Vậy, thể tích khối tứ diện \(ACHK\) lớn nhất bằng \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\) khi \(x = a\sqrt 3 \).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.