Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a,\) trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD}
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a,\) trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) tại \(A\) ta lấy điểm \(S\) di động không trùng với \(A\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB,\,\,SD\) lần lượt là \(H,\,\,K.\) Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện
\(ACHK.\)
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Lập tỉ lệ thể tích và đánh giá.
Giả sử \(SA = x\,\,\left( {x > 0} \right)\). Gọi O là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Ta có: \({V_{ACHK}} = {V_{A.OHK}} + {V_{C.OHK}} = 2{V_{A.OHK}}\) (do O là trung điểm AC)
Tam giác SAB vuông tại A, AH là đường cao
\( \Rightarrow SH.SB = S{A^2} \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SB}} = {\left( {\dfrac{{SA}}{{SB}}} \right)^2} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}} \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SB}} = \dfrac{{SK}}{{SD}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}\)
Ta có: \({S_{SHK}} = \dfrac{{SH}}{{SB}}.\dfrac{{SK}}{{SD}}.{S_{SBD}} = {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}} \right)^2}.{S_{SBD}}\) và
\(\begin{array}{l}{S_{OBH}} = {S_{ODK}} = \dfrac{{BH}}{{SB}}.\dfrac{{BO}}{{BD}}.{S_{SBD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}.\dfrac{1}{2}.{S_{SBD}} = \dfrac{{{a^2}}}{{2\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}}.{S_{SBD}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{OHK}} = \left( {1 - {{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}} \right)}^2} - 2.\dfrac{{{a^2}}}{{2\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}}} \right){S_{SBD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2} - {x^4} - {a^2}\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}{S_{SBD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2}{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}{S_{SBD}}\end{array}\)
Ta có: \(\dfrac{{{V_{A.OHK}}}}{{{V_{A.SBD}}}} = \dfrac{{{S_{OHK}}}}{{{S_{SBD}}}} = \dfrac{{{a^2}{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}} \Rightarrow \dfrac{{{V_{ACHK}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{{a^2}{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}\)\( \Rightarrow {V_{ACHK}} = \dfrac{{{a^2}{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{{{a^2}{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}.\dfrac{1}{3}x{a^2} = \dfrac{{{a^4}}}{3}.\dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}\)
Ta có: \(\dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{3} + {a^2}} \right)}^2}}} \le \dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {4\sqrt[4]{{\dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{3} + {a^2}}}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^3}}}{{16\sqrt {\dfrac{{{x^6}{a^2}}}{{27}}} }} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16a}}\)
\( \Rightarrow {V_{ACHK}} \le \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{x^2}}}{3} = {a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \).
Vậy, thể tích khối tứ diện \(ACHK\) lớn nhất bằng \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\) khi \(x = a\sqrt 3 \).
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
