Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\)\(SA\) vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 412238:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\)\(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right);\) góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB.\) Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SMC} \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}.\)

B. \(a\sqrt 3 .\)

C. \(a.\)

D. \(\dfrac{a}{2}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412238

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa \(SB\) và mặt đáy là góc giữa \(SB\) và hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của tam giác vuông tính \(SA\).

- Đổi \(d\left( {B;\left( {SMC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMC} \right)} \right)\).

- Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\), chứng minh \(AH \bot \left( {SMC} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AH\).

Giải chi tiết

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \)\(AB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA = {60^0}\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) \( \Rightarrow SA = AB.\tan \angle SBA = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).

Ta có: \(BA \cap \left( {SMC} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {SMC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SMC} \right)} \right)}} = \dfrac{{BM}}{{AM}} = 1\).

\( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCM} \right)} \right) = D\left( {A;\left( {SCM} \right)} \right)\)

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CM \bot AB\\CM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CM \bot AH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot CM\\AH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SMC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMC} \right)} \right) = AH\).

Tam giác \(SAM\) vuông tại \(A\) có \(AH \bot SM\), áp dụng hệ thức lượng ta có:

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{13}}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow AH = \dfrac{{\sqrt {39} }}{{13}}a\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SCM} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.