Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\)\(SA\) vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\)\(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right);\) góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB.\) Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SMC} \right)\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Xác định góc giữa \(SB\) và mặt đáy là góc giữa \(SB\) và hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
- Sử dụng tỉ số lượng giác của tam giác vuông tính \(SA\).
- Đổi \(d\left( {B;\left( {SMC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMC} \right)} \right)\).
- Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\), chứng minh \(AH \bot \left( {SMC} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AH\).
Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \)\(AB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA = {60^0}\).
Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) \( \Rightarrow SA = AB.\tan \angle SBA = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).
Ta có: \(BA \cap \left( {SMC} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {SMC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SMC} \right)} \right)}} = \dfrac{{BM}}{{AM}} = 1\).
\( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCM} \right)} \right) = D\left( {A;\left( {SCM} \right)} \right)\)
Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CM \bot AB\\CM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CM \bot AH\)
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot CM\\AH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SMC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMC} \right)} \right) = AH\).
Tam giác \(SAM\) vuông tại \(A\) có \(AH \bot SM\), áp dụng hệ thức lượng ta có:
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{13}}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow AH = \dfrac{{\sqrt {39} }}{{13}}a\).
Vậy \(d\left( {B;\left( {SCM} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
