Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 2 = 0 và (Q): 2x + 2y + z - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(0; 0; 1) nằm trong mặt phẳng (Q) và tạo với mặt phẳng (P) một góc 450

Câu hỏi số 41243:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 2 = 0 và (Q): 2x + 2y + z - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(0; 0; 1) nằm trong mặt phẳng (Q) và tạo với mặt phẳng (P) một góc 45⁰

A. d: $\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=t\\ z=1-4t \end{matrix}\right.$ ; d : $\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=-t\\ z=2\end{matrix}\right.$

B. d: $\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=t\\ z=1-4t \end{matrix}\right.$ ; d : $\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=-t\\ z=1 \end{matrix}\right.$

C. d: $\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=t\\ z=1-4t \end{matrix}\right.$ ;d : $\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=t\\ z=1 \end{matrix}\right.$

D. d: $\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=t\\ z=1+4t \end{matrix}\right.$ ; d : $\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=-t\\ z=1 \end{matrix}\right.$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:41243

Giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{n}$ = (2; 2; 1) là một vectơ pháp tuyến của (Q).

$\overrightarrow{b}$ =(1; -2; 2) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Gọi $\overrightarrow{a}$ (a; b; c) với a² + b² + c²> 0 là một vectơ chỉ phương của (d)

Vì đường thẳng (d) đi qua A(0; 0; 1) mà A ∈ (Q) do đó

d chứa trong (Q) ⇔ $\overrightarrow{a}$ ⊥ $\overrightarrow{n}$ ⇔ $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{n}$ = 0 ⇔ 2a + 2b + c = 0 ⇔ c = -2a - 2b.

Góc hợp bởi d và (P) bằng 45⁰ ⇔ sin 45⁰= |cos( $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ )|= $\frac{|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b|}}$

⇔ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{|a-2b+2c|}{3\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

⇔ 18(a² + b² + c² ) = 4(a - 2b + 2c )²

⇔ 9[a² + b² + (-2a -2b)² ] = 2[a - 2b + 2(-2a - 2b)]²

⇔ 9(5a² + 5b² + 8ab) = 2(-3a - 6b)² = 2.9(a + 2b)²

⇔ 5a² + 5b² + 8ab = 2(a² + 4ab + 4b² ) ⇔ 3a² – 3b² = 0 ⇔ a = ±b

* Với a = b: chọn b = 1 => a = 1 và c = -4.

* Với a = -b: chọn b = -1 => a = 1 và c = 0.

Vậy d: $\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=t\\ z=1-4t \end{matrix}\right.$ hay d: $\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=-t\\ z=1 \end{matrix}\right.$ là các đường thẳng cần tìm.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.