Cho n là số nguyên dương thỏa mãn + + ... + + = 255 Hãy tìm số hạng chứa x14 trong khai triển của P(x) = (1 + x + 3x2)n

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Tổ hợp - Xác suất

Câu hỏi số 41244:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{1}$ + $C_{n}^{2}$ + ... + $C_{n}^{n-1}$ + $C_{n}^{n}$ = 255

Hãy tìm số hạng chứa x¹⁴ trong khai triển của P(x) = (1 + x + 3x²)ⁿ

A. ( $C_{8}^{7}C_{7}^{0}$ 3⁷+ $C_{8}^{8}C_{8}^{2}$ 3⁶)x¹⁴

B. ( $C_{8}^{7}C_{7}^{0}$ 3^{7 -} $C_{8}^{8}C_{8}^{2}$ 3⁶)x¹⁴

C. ( $C_{8}^{7}C_{7}^{0}$ 3⁷+ $C_{8}^{8}C_{8}^{2}$ 3⁶)2x¹⁴

D. ( $C_{8}^{7}C_{7}^{0}$ 3⁷+ $C_{8}^{8}C_{8}^{2}$ 3⁶)3x¹⁴

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:41244

Giải chi tiết

Ta có $C_n^{0}$ + $C_{n}^{1}$ + $C_{n}^{2}$ + ... + $C_{n}^{n-1}$ + $C_{n}^{n}$ = (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ

=> $C_{n}^{1}$ + $C_{n}^{2}$ + ... + $C_{n}^{n}$ = 2ⁿ- 1

Theo giả thiết ta có 2ⁿ- 1 = 255 => 2ⁿ= 256 = 2⁸ ⇔n = 8

P(x) = (1 + x + 3x²)⁸= $\sum_{k=0}^{8}C_{8}^{k}$ (3x²+ x)^k

= $\sum_{k=0}^{8}C_{8}^{k}$ ( $\sum_{m=0}^{k}C_{k}^{m}$ (3x²)^{k - m}x^m) = $\sum_{k=0}^{8}\sum_{m=0}^{k}C_{k}^{m}C_{8}^{k}$ 3^{k - m}x^{2k - m}

Yêu cầu bài toán ⇔ 2k - m = 14và 0 ≤ m ≤ k ≤ 8 (m, k ∈ Z)

⇔ $\left\{\begin{matrix} m=0\\ k=7 \end{matrix}\right.$ $\vee \left\{\begin{matrix} m=2\\ k=8 \end{matrix}\right.$

Vậy số hạng chứa x¹⁴ là: ( $C_{8}^{7}C_{7}^{0}$ 3⁷+ $C_{8}^{8}C_{8}^{2}$ 3⁶)x¹⁴

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.