Cho tam giác \(ABC\) có số đo ba góc là \(A,B,C\) thỏa mãn điều kiện \(\tan \frac{A}{2} + \tan

Câu hỏi số 413089:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) có số đo ba góc là \(A,B,C\) thỏa mãn điều kiện \(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = \sqrt 3 \).

Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413089

Phương pháp giải

- Chứng minh \(\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\)

- Chứng minh và sử dụng bất đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Giải chi tiết

*) Trước hết ta chứng minh: \(\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\)

Ta có: \(A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\\ \Rightarrow \tan \frac{{A + B}}{2} = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \cot \frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}}{{1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}} = \frac{1}{{\tan \frac{C}{2}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right)\tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\end{array}\)

*) Chứng minh bất đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\\ \ge 3ab + 3bc + 3ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

(BĐT cuối luôn đúng do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\\{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\))

Áp dụng bđt vừa chứng minh với \(a = \tan \frac{A}{2},b = \tan \frac{B}{2},\) \(c = \tan \frac{C}{2}\) ta được:

\({\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)^2}\) \( \ge 3\left( {\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}} \right) = 3.1 = 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)^2} \ge 3\\ \Rightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \ge \sqrt 3 \end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\tan \frac{A}{2} = \tan \frac{B}{2} = \tan \frac{C}{2}\) hay \(A = B = C = \frac{\pi }{3}\).

Vậy tam giác ABC đều (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.