Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1.\) Gọi

Câu hỏi số 413088:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1.\) Gọi \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm của \(\left( E \right),\) và điểm \(M \in \left( E \right)\) sao cho \(M{F_1} \bot M{F_2}\). Tính \(MF_1^2 + MF_2^2\) và diện tích \(\Delta M{F_1}{F_2}\).

A. \(MF_1^2 + MF_2^2 = 6\,\,\,;\,\,\,{S_{M{F_1}{F_2}}} = \frac{1}{2}\)

B. \(MF_1^2 + MF_2^2 = 8\,\,\,;\,\,\,{S_{M{F_1}{F_2}}} = \frac{2}{3}\)

C. \(MF_1^2 + MF_2^2 = 12\,\,\,;\,\,\,{S_{M{F_1}{F_2}}} = 1\)

D. \(MF_1^2 + MF_2^2 = 16\,\,\,;\,\,\,{S_{M{F_1}{F_2}}} = 2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413088

Phương pháp giải

Sử dụng Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có \({b^2} + {c^2} = {a^2}\) và hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\)

Với \(M \in \left( E \right)\) thì \(M{F_1} + M{F_2} = 2a.\)

Giải chi tiết

Xét \(\left( E \right):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\) có \(a = 2;b = 1\) \( \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2}\) \( = 4 - 1 = 3\) \( \Rightarrow c = \sqrt 3 \)

Hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) là \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) \( \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2\sqrt 3 \)

Xét \(\Delta {F_1}M{F_2}\) vuông tại \(M\) (do \(M{F_1} \bot M{F_2}\)), theo định lý Pytago ta có: \(MF_1^2 + MF_2^2 = {F_1}F_2^2\)

\( \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}\) \( \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 = 12\)

Ta có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 4\) và \(MF_1^2 + MF_2^2 = 12\)

Do đó: \({\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right)^2} = 16\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 + 2M{F_1}.M{F_2} = 16\\ \Leftrightarrow 12 + 2.M{F_1}.M{F_2} = 16\\ \Leftrightarrow M{F_1}.M{F_2} = 2\end{array}\)

Vì tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại \(M\) nên \({S_{M{F_1}{F_2}}} = \frac{1}{2}M{F_1}.M{F_2}\) \( = \frac{1}{2}.2 = 1\) (đơn vị diện tích)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10