Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn log2x + log8y3 + log32z5 = 0 (*) Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức: F = + +

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 41311:

Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn log₂x + log₈y³+ log₃₂z⁵= 0 (*)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:

F = $\frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}$ + $\frac{\sqrt{1+y^{3}+z^{3}}}{yz}$ + $\frac{\sqrt{1+z^{3}+x^{3}}}{zx}$

A. 2√3

B. √3

C. 3√3

D. 3

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:41311

Giải chi tiết

Từ điều kiện (*) ta có x, y, z > 0 và xyz = 1

Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho 3 số dương ta có:

1 + x³ + y³ ≥ 3 $\sqrt[3]{1.x^{3}.y^{3}}$ = 3xy ⇔ $\frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}$ ≥ $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}$ (1)

Tương tự: $\frac{\sqrt{1+y^{3}+z^{3}}}{yz}$ ≥ $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}$ (2)

$\frac{\sqrt{1+z^{3}+x^{3}}}{zx}$ ≥ $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}$ (3)

Cộng (1), (2), (3) về theo vế ta được:

F = $\frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}$ + $\frac{\sqrt{1+y^{3}+z^{3}}}{yz}$ + $\frac{\sqrt{1+z^{3}+x^{3}}}{zx}$ ≥

√3( $\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}} +\frac{2}{\sqrt{zx}}$ ) ≥ √3.3. $\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}}}}$ = 3√3

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

vậy giá trị nhỏ nhất của F là 3√3.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.