Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5(a + b + c) - 2ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = a + b + c + 48( + ).

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 41312:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a² + b²+ c² = 5(a + b + c) - 2ab.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = a + b + c + 48( $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}$ + $\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}$ ).

A. 34

B. 58

C. 60

D. 40

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:41312

Giải chi tiết

Ta có 5(a + b + c) = (a + b)² +c²≤ $\frac{1}{2}$ (a + b + c)² => 0 < (a + b + c) ≤ 10.

$\sqrt[2]{\frac{a+10}{3}}$ ≤ $\frac{1}{6}$ (a + 22) ; 3 $\sqrt[3]{b+c}$ ≤ $\frac{1}{4}$ (c + b +16)

Q = a + b + c + 48( $\frac{1}{\sqrt{\frac{a+10}{3}}}$ + $\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}$ )

≥ a + b + c + 48( $\frac{12}{a+22}$ + $\frac{12}{b+c+16}$ )

≥ a + b + c + 576( $\frac{4}{a+b+c+38}$ ) = a + b + c + $\frac{2304}{a+b+c+38}$

Xét f(t) = t + $\frac{2304}{t+38}$ với t ∈ (0; 10], f'(t) = 1 - $\frac{2304}{(t+38)^{2}}$ ≤ 0

với t ∈ (0; 10]

Do đó hàm số nghịch biến trên nửa khoảng (0; 10], suy ra f(x) ≥ f(10) = 58

Suy ra giá trị nhỏ nhất của Q bằng 58 khi a = 2, b= 3, c = 5.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.