Trong không gian với hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\). Cho các điểm \(A\left( { - 1;1;1}
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\). Cho các điểm \(A\left( { - 1;1;1} \right)\), \(B\left( {1;0;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua A,B và \(\left( P \right)\) cách điểm O một khoảng lớn nhất. Phương trình của \(\left( P \right)\) là:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Chứng minh \(d\left( {O;\left( P \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất thì hình chiếu \(H\) của \(O\) lên \(\left( P \right)\) nằm trên \(AB\).
- Viết phương trình đường thẳng \(AB\).
- Tham số họa tọa độ điểm \(H\) thuộc \(AB\) theo tham số \(t\).
- Giải phương trình \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {AB} = 0\) tìm \(t\), từ đó suy ra VTPT của \(\left( P \right)\).
- Viết phương trình \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(O\) lên \(\left( P \right)\) và \(AB\).
Ta có \(OH \bot \left( P \right) \Rightarrow OH \bot HK \Rightarrow \Delta OHK\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow OH \le OK \Rightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) \le OK\).
Do \(O,\,\,A,\,\,B\) cố định \( \Rightarrow OK\) không đổi.
\( \Rightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(OK \Leftrightarrow H \equiv K\), khi đó \(H \in AB\).
Ta có \(A\left( { - 1;1;1} \right),B\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1;0} \right)\), suy ra phương trình đường thẳng AB là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - t\\z = 1\end{array} \right.\).
Gọi \(H\left( {1 + 2t;\,\, - t;\,\,1} \right) \in AB\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OH} \left( {1 + 2t;\,\, - t;\,\,1} \right)\).
Mà \(OH \bot \left( P \right) \Rightarrow \) \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {AB} = 0\) \( \Leftrightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) + t = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{2}{5}\)
\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{2}{5};1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OH} \left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{2}{5};1} \right)\).
Vì \(OH \bot \left( P \right)\) nên \(\left( P \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = 5\overrightarrow {OH} = \left( {1;2;5} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1;2;5} \right)\) và đi qua \(A\left( { - 1;1;1} \right)\) là:
\(1\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) + 5\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + 5z - 6 = 0\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
