Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, \(AB = 2a,\)\(AD = a\)\(\left( {a > 0} \right)\). M là

Câu hỏi số 414114:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, \(AB = 2a,\)\(AD = a\)\(\left( {a > 0} \right)\). M là trung điểm của AB, tam giác SMC vuông tại S, \(\left( {SMC} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\)\(SM\) tạo với đáy góc \(60^\circ \). Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)

C. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{3}.\)

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:414114

Phương pháp giải

- Trong \(\left( {SMC} \right)\) kẻ \(SI \bot MC\,\,\left( {I \in MC} \right)\), chứng minh \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Xác định góc giữa \(SM\) và mặt đáy là góc giữa \(SM\) và hình chiếu của \(SM\) lên mặt đáy.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao \(SI\).

- Tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SI.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Trong \(\left( {SMC} \right)\) kẻ \(SI \bot MC\,\,\left( {I \in MC} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SMC} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = MC\\SI \subset \left( {SMC} \right),\,\,SI \bot MC\end{array} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow IM\) là hình chiếu của \(SM\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SM;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;IM} \right) = \angle SMI = \angle SMC = {60^0}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác BMC vuông tại B :

\(BM = \dfrac{{AB}}{2} = a;\,\,BC = a\)\( \Rightarrow MC = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}} = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác SMC vuông tại \(S\) có \(\angle SMC = {60^0};\,\,MC = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow SM = MC.\cos {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác SMI vuông tại \(I\) có \(\angle SMI = {60^0};\,\,SM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow SI = SM.sin{60^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

Vậy thể tích khối chóp là \(V = \dfrac{1}{3}SI.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.2{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.