Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{\cot x - 1}}{{2\cot x - m}}\). Có tất cả bao nhiêu số tự

Câu hỏi số 414123:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{\cot x - 1}}{{2\cot x - m}}\). Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\)?

A. \(0\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:414123

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \cot x\), tìm khoảng giá trị của \(t\) ứng với \(x \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

- Đưa hàm số về dạng hàm bậc nhất trên bậc nhất ẩn \(t\).

- Tìm điều kiện để hàm số ban đầu nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến hay nghịch biến trên khoảng giá trị của \(t\).

- Hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ad \ne bc} \right)\) đồng biến (nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\,\,\left( {y' < 0} \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {a;b} \right)\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \cot x\), hàm số nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên với\(x \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\).

Khi đó bài toán trở thành: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{t - 1}}{{2t - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = \dfrac{{ - m + 2}}{{{{\left( {2t - m} \right)}^2}}} > 0\\\dfrac{m}{2} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{m}{2} \le 0\\\dfrac{m}{2} \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 0\).

Mà \(m\) là số tự nhiên nên \(m = 0\).

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.