Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y - z + 5 = 0 và mặt cầu (S): (x + 4)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 15. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A(1; 0;-4), vuông góc với (P) đồng thời căt mặt cầu (S) theo thời giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 4π.

Câu hỏi số 41423:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y - z + 5 = 0 và mặt cầu (S): (x + 4)²+ (y - 1)² + (z - 1)² = 15. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A(1; 0;-4), vuông góc với (P) đồng thời căt mặt cầu (S) theo thời giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 4π.

A. 2x - y + 3z + 11 = 0 hoặc 3x - y - z + 1 = 0

B. x + y + 3z + 11 = 0 hoặc 3x - y + z + 1 = 0

C. -2x - y + 3z + 11 = 0 hoặc 3x + y - z + 1 = 0

D. x - y + 3z + 11 = 0 hoặc 3x + y + z + 1 = 0

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:41423

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm I(-4; 1; 1) và bán kính R = $\sqrt{15}$ , $\overrightarrow{n_{p}}$ = (1; 2;-1) là véc tơ

pháp tuyến của (P).

Gọi phương trình mặt phẳng (Q) qua A có dạng:

A(x - 1) + By + C(z + 4) = 0 với A² + B²+ C² ≠ 0 và $\overrightarrow{n_{Q}}$ = (A; B; C) là vecto pháp tuyến của (Q).

(Q) ⊥ (P) <=> $\overrightarrow{n_{Q}}$ . $\overrightarrow{n_{P}}$ = 0 <=> A + 2B - C = 0 <=> C = A + 2B (1)

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến, ta có r = 4. Suy ra

d(I; (Q)) = $\sqrt{R^{2}-r^{2}}$ = $\sqrt{15-4}$ = $\sqrt{11}$ (2)

Mặt khác d(I; (Q)) = $\frac{\left | -5A+B+5C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có $\frac{\left | 11B \right |}{\sqrt{2A^{2}+5B^{2}+4AB}}$ = $\sqrt{11}$

<=> A² - 3B²+ 2AB = 0

A = 0 không thỏa mãn.

Chọn A = 1 => B = 1 hoặc B = - $\frac{1}{3}$

* Với A = 1; B = 1; C = 3 .

Mặt phẳng (Q) có phương trình (x - 1) + y + 3(z + 4) = 4

<=> x + y + 3z + 11 = 0.

*Với A = 1; B = - $\frac{1}{3}$ ; C = $\frac{1}{3}$ .Mặt phẳng (Q) có phương trình

(x - 1) - $\frac{1}{3}$ y + $\frac{1}{3}$ (z + 4) = 0 <=> 3x - y + z + 1 = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là x + y + 3z + 11 = 0 hoặc

3x - y + z + 1 = 0.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.