Cho các số \(x,\,\,y\) thay đổi thỏa mãn \(x > y > 0\) và \(\ln \left( {x - y} \right) + \dfrac{1}{2}\ln \left( {xy} \right) = \ln \left( {x + y} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = x + y\) là:

Câu 414440: Cho các số \(x,\,\,y\) thay đổi thỏa mãn \(x > y > 0\) và \(\ln \left( {x - y} \right) + \dfrac{1}{2}\ln \left( {xy} \right) = \ln \left( {x + y} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = x + y\) là:

A. \(2\sqrt 2 \)

B. \(2\)

C. \(4\)

D. \(16\)

Câu hỏi : 414440

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Biến đổi biểu thức đề bài cho, sử dụng biến đổi \({\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 4xy\), rút \({\left( {x + y} \right)^2}\) theo \(xy\).

- Đặt \(t = xy\), đưa phương trình về dạng \({M^2} = f\left( t \right)\).

- Lập BBT hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\ln \left( {x - y} \right) + \dfrac{1}{2}\ln \left( {xy} \right) = \ln \left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow \ln {\left( {x - y} \right)^2} + \ln \left( {xy} \right) = \ln {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \ln \left[ {xy{{\left( {x - y} \right)}^2}} \right] = \ln {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow xy{\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow xy\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 4xy} \right] = {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow xy{\left( {x + y} \right)^2} - 4{x^2}{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow xy{M^2} - 4{x^2}{y^2} = {M^2}\\ \Leftrightarrow {M^2}\left( {xy - 1} \right) = 4{x^2}{y^2}\\ \Leftrightarrow {M^2} = \dfrac{{4{x^2}{y^2}}}{{xy - 1}}\end{array}\)

Đặt \(t = xy\,\,\left( {t > 1} \right)\) ta có \(M = \dfrac{{4{t^2}}}{{t - 1}}\,\,\left( {t > 1} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2}}}{{t - 1}}\) với \(t > 1\) ta có:

\(f'\left( t \right) = \dfrac{{8t\left( {t - 1} \right) - 4{t^2}}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{4{t^2} - 8t}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\); \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy \(f\left( t \right) \ge 16\,\,\forall t > 1 \Leftrightarrow {M^2} \ge 16\,\,\forall t > 1 \Leftrightarrow M \ge 4\).

Vậy \({M_{\min }} = 4\) \( \Leftrightarrow xy = 2\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.