Cho các số \(x,\,\,y\) thay đổi thỏa mãn \(x > y > 0\) và \(\ln \left( {x - y} \right) +
Cho các số \(x,\,\,y\) thay đổi thỏa mãn \(x > y > 0\) và \(\ln \left( {x - y} \right) + \dfrac{1}{2}\ln \left( {xy} \right) = \ln \left( {x + y} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = x + y\) là:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Biến đổi biểu thức đề bài cho, sử dụng biến đổi \({\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 4xy\), rút \({\left( {x + y} \right)^2}\) theo \(xy\).
- Đặt \(t = xy\), đưa phương trình về dạng \({M^2} = f\left( t \right)\).
- Lập BBT hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\ln \left( {x - y} \right) + \dfrac{1}{2}\ln \left( {xy} \right) = \ln \left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow \ln {\left( {x - y} \right)^2} + \ln \left( {xy} \right) = \ln {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \ln \left[ {xy{{\left( {x - y} \right)}^2}} \right] = \ln {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow xy{\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow xy\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 4xy} \right] = {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow xy{\left( {x + y} \right)^2} - 4{x^2}{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow xy{M^2} - 4{x^2}{y^2} = {M^2}\\ \Leftrightarrow {M^2}\left( {xy - 1} \right) = 4{x^2}{y^2}\\ \Leftrightarrow {M^2} = \dfrac{{4{x^2}{y^2}}}{{xy - 1}}\end{array}\)
Đặt \(t = xy\,\,\left( {t > 1} \right)\) ta có \(M = \dfrac{{4{t^2}}}{{t - 1}}\,\,\left( {t > 1} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2}}}{{t - 1}}\) với \(t > 1\) ta có:
\(f'\left( t \right) = \dfrac{{8t\left( {t - 1} \right) - 4{t^2}}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{4{t^2} - 8t}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\); \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\).
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(f\left( t \right) \ge 16\,\,\forall t > 1 \Leftrightarrow {M^2} \ge 16\,\,\forall t > 1 \Leftrightarrow M \ge 4\).
Vậy \({M_{\min }} = 4\) \( \Leftrightarrow xy = 2\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
