Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên tập số thực thỏa mãn \(f\left( x \right) + \left(

Câu hỏi số 414441:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên tập số thực thỏa mãn \(f\left( x \right) + \left( {5x - 2} \right)f\left( {5{x^2} - 4x} \right)\)\( = 50{x^3} - 60{x^2} + 23x - 1\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của biểu thức \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:414441

Phương pháp giải

- Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế.

- Sử dụng phương pháp đổi biến số.

- Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \).

Giải chi tiết

Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được:

\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {5x - 2} \right)f\left( {5{x^2} - 4x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {50{x^3} - 60{x^2} + 23x - 1} \right)dx} \)

Xét tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {5x - 2} \right)f\left( {5{x^2} - 4x} \right)dx} \).

Đặt \(t = 5{x^2} - 4x\) ta có \(dt = \left( {10x - 4} \right)dx \Leftrightarrow \left( {5x - 2} \right)dx = \dfrac{1}{2}dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{2}f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)

Xét tích phân \(J = \int\limits_0^1 {\left( {50{x^3} - 60{x^2} + 23x - 1} \right)dx} \) ta có: \(J = \left. {\left( {\dfrac{{50{x^4}}}{4} - \dfrac{{60{x^3}}}{3} + \dfrac{{23{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_0^1 = 3\)

Khi đó ta có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3\) \( \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3\) \( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.