Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x + m + 6}}{{x - m}}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) là số dương?

Câu 414446: Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x + m + 6}}{{x - m}}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) là số dương?

A. \(9\)

B. \(8\)

C. \(11\)

D. \(10\)

Câu hỏi : 414446

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Tính đạo hàm.

- Để hàm số có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {1;3} \right]\) thì \(m \notin \left[ {1;3} \right]\).

- Chia từng trường hợp dấu của đạo hàm, trong mỗi trường hợp xác định GTLN của hàm số trên \(\left[ {1;3} \right]\) và giải bất phương trình \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y > 0\).

Đáp án : B
(20) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - m - m - 6}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2m - 6}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\).

Để hàm số có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {1;3} \right]\) thì \(m \notin \left[ {1;3} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.\). Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left[ { - 20;1} \right) \cup \left( {3;20} \right]\) (*).

TH1: \( - 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\), khi đó \(y = \dfrac{{x + 3}}{{x + 3}} = 1\) là hàm hằng nên không có giá trị lớn nhất.

TH2: \( - 2m - 6 > 0 \Leftrightarrow m < - 3\), khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của chúng nên hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;3} \right]\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = \dfrac{{m + 9}}{{3 - m}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{m + 9}}{{3 - m}} > 0 \Leftrightarrow - 9 < m < 3\).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow - 9 < m < - 3\).

TH3: \( - 2m - 6 < 0 \Leftrightarrow m > - 3\), khi đó hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của chúng nên hàm số nghịch biến trên \(\left[ {1;3} \right]\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 1 \right) = \dfrac{{m + 7}}{{1 - m}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{m + 7}}{{1 - m}} > 0 \Leftrightarrow - 7 < m < 1\).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow - 3 < m < 1\).

Kết hợp 2 TH ta có: \(m \in \left( { - 9;1} \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\).

Kết hợp điều kiện (*) ta có: \(m \in \left( { - 9;1} \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\). Mà \(m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có \(8\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.