Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = 2a\), \(AD = 4a\), \(SA \bot \left( {ABCD}

Câu hỏi số 415170:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = 2a\), \(AD = 4a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), cạnh \(SC\) tạo với mặt đáy góc \({30^0}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(N\) là điểm trên cạnh \(AD\) sao cho \(DN = a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(SB\) là:

A. \(\dfrac{{a\sqrt {35} }}{7}\)

B. \(\dfrac{{2a\sqrt {35} }}{7}\)

C. \(\dfrac{{3a\sqrt {35} }}{7}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt {35} }}{{14}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:415170

Phương pháp giải

- Đặt hệ trục tọa độ \(Oxyz\).

- Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \(d\left( {MN;SB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {SB} } \right].\overrightarrow {MB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {SB} } \right]} \right|}}\).

Giải chi tiết

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {30^0}\).

Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + 16{a^2}} = 2\sqrt 5 a\).

\( \Rightarrow SA = AC.\tan {30^0} = 2a\sqrt 5 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt {15} }}{3}\).

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\).

Ta có: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;\dfrac{{2\sqrt {15} }}{3}} \right)\), \(C\left( {2;4;0} \right)\), \(D\left( {0;4;0} \right)\).

\(M\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow M\left( {2;2;0} \right)\).

\(\overrightarrow {AN} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AD} \Rightarrow N\left( {0;3;0} \right)\).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;1;0} \right),\,\,\overrightarrow {SB} = \left( { - 2;0;\dfrac{{2\sqrt {15} }}{3}} \right)\), \(\overrightarrow {MB} = \left( {0; - 2;0} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\dfrac{{2\sqrt {15} }}{3};\dfrac{{4\sqrt {15} }}{3};2} \right)\).

\( \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {SB} } \right]} \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{2\sqrt {15} }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{4\sqrt {15} }}{3}} \right)}^2} + {2^2}} = \dfrac{{4\sqrt {21} }}{3}\).

Và \(\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {SB} } \right].\overrightarrow {MB} = \dfrac{{2\sqrt {15} }}{3}.0 + \dfrac{{4\sqrt {15} }}{3}.\left( { - 2} \right) + 2.0 = - \dfrac{{8\sqrt {15} }}{3}\).

Vậy \(d\left( {MN;SB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {SB} } \right].\overrightarrow {MB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {SB} } \right]} \right|}} = \dfrac{{8\sqrt {15} }}{3}:\dfrac{{4\sqrt {21} }}{3} = \dfrac{{2\sqrt {35} }}{7}\).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.