Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {\left( {x - 1} \right)^2}\)

Khi đó \(y = g\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) tại:

Câu 415813: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {\left( {x - 1} \right)^2}\)

Khi đó \(y = g\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) tại:

A. \(x = - 3\)

B. \(x = 3\)

C. \(x = 0\)

D. \(x = 1\)

Câu hỏi : 415813

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm \(g'\left( x \right)\), giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Dựa vào tương giao đồ thị hàm số xác định nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\), lấy các nghiệm thuộc \(\left[ { - 3;3} \right]\)

- Tính giá trị hàm số tại các nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\), so sánh và suy ra GTNN của hàm số trên \(\left[ { - 3;3} \right]\).

Đáp án : A
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {x - 1} \right)\); \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = x - 1\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số thấy \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3 \in \left[ { - 3;3} \right]\\x = 1 \in \left[ { - 3;3} \right]\\x = 3 \in \left[ { - 3;3} \right]\end{array} \right.\).

Ta có BBT hàm số \(y = g\left( x \right)\) như sau

Ta so sánh \(g\left( { - 3} \right)\) và \(g\left( 3 \right)\).

Xét tích phân

\(\begin{array}{l}g\left( 3 \right) - g\left( { - 3} \right) = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| {g'\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 3}^1 {g'\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {g'\left( x \right)dx} \\ = 2\int\limits_{ - 3}^1 {\left| {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} + 2\int\limits_1^3 {\left| {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} \\ = 2\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} - 2\int\limits_1^3 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} \\ = 2{S_1} - 2{S_2} = 2\left( {{S_1} - {S_2}} \right)\end{array}\)

Với \({S_1}\) là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), đường thẳng \(y = x - 1\), đường thẳng \(x = - 3,\,\,x = 1\).

\({S_2}\) là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), đường thẳng \(y = x - 1\), đường thẳng \(x = 1,\,\,x = 3\).

Dễ thấy \({S_1} > {S_2} \Rightarrow 2\left( {{S_1} - {S_2}} \right) > 0\).

\( \Rightarrow g\left( 3 \right) - g\left( { - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow g\left( 3 \right) > g\left( { - 3} \right)\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 3} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.