Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {\left( {x - 1} \right)^2}\)
Khi đó \(y = g\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) tại:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Tính đạo hàm \(g'\left( x \right)\), giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).
- Dựa vào tương giao đồ thị hàm số xác định nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\), lấy các nghiệm thuộc \(\left[ { - 3;3} \right]\)
- Tính giá trị hàm số tại các nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\), so sánh và suy ra GTNN của hàm số trên \(\left[ { - 3;3} \right]\).
Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {x - 1} \right)\); \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1\).
Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = x - 1\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số thấy \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3 \in \left[ { - 3;3} \right]\\x = 1 \in \left[ { - 3;3} \right]\\x = 3 \in \left[ { - 3;3} \right]\end{array} \right.\).
Ta có BBT hàm số \(y = g\left( x \right)\) như sau
Ta so sánh \(g\left( { - 3} \right)\) và \(g\left( 3 \right)\).
Xét tích phân
\(\begin{array}{l}g\left( 3 \right) - g\left( { - 3} \right) = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| {g'\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 3}^1 {g'\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {g'\left( x \right)dx} \\ = 2\int\limits_{ - 3}^1 {\left| {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} + 2\int\limits_1^3 {\left| {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} \\ = 2\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} - 2\int\limits_1^3 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} \\ = 2{S_1} - 2{S_2} = 2\left( {{S_1} - {S_2}} \right)\end{array}\)
Với \({S_1}\) là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), đường thẳng \(y = x - 1\), đường thẳng \(x = - 3,\,\,x = 1\).
\({S_2}\) là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\), đường thẳng \(y = x - 1\), đường thẳng \(x = 1,\,\,x = 3\).
Dễ thấy \({S_1} > {S_2} \Rightarrow 2\left( {{S_1} - {S_2}} \right) > 0\).
\( \Rightarrow g\left( 3 \right) - g\left( { - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow g\left( 3 \right) > g\left( { - 3} \right)\).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 3} \right)\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
