Cho phương trình \({\log _3}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\). Hỏi có bao

Câu hỏi số 415815:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({\log _3}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\). Hỏi có bao nhiêu cặp số \(\left( {x;y} \right)\) và \(0 < x < 2020\), \(y \in \mathbb{N}\) thỏa mãn phương trình đã cho?

A. \(5\)

B. \(6\)

C. \(7\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:415815

Phương pháp giải

- Biến đổi, xét hàm đặc trưng.

- Đưa phương trình về dạng \(g\left( x \right) = h\left( y \right)\).

- Lập BBT của hàm số \(y = g\left( x \right)\), tìm điều kiện để phương trình \(g\left( x \right) = h\left( y \right)\) có nghiệm, kẹp khoảng giá trị của \(y\).

- Từ các giá trị của \(y\) tìm nghiệm \(x\) và suy ra số cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _3}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {3\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)} \right] = {3^{{y^2}}} + {y^2} - \left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}3 + {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - \left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = {\log _3}{3^{{y^2}}} + {3^{{y^2}}}\end{array}\)

Xét hàm số đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), lại có \(f\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = f\left( {{3^{{y^2}}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 = {3^{{y^2}}}\,\,\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2\) với \(0 < x < 2020\) ta có: \(g'\left( x \right) = 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left( {0;2020} \right)\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm

\( \Leftrightarrow 1 \le {3^{{y^2}}} < 4076362\) \( \Leftrightarrow {\log _3}1 \le {y^2} < {\log _3}4076362\) \( \Leftrightarrow 0 \le {y^2} < 13,85\).

Lại có \(y \in \mathbb{N} \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\) \( \Rightarrow g\left( x \right) \in \left\{ {1;3;{3^4};{3^9}} \right\}\).

Dựa vào BBT ta thấy mỗi phương trình \(g\left( x \right) = 1\), \(g\left( x \right) = 3\), \(g\left( x \right) = {3^4}\), \(g\left( x \right) = {x^9}\) có 1 nghiệm thỏa mãn \(0 < x < 2020\).

Vậy có 4 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.