Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng \(a\) và các cạnh bên đều bằng
Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng \(a\) và các cạnh bên đều bằng \(a\sqrt 2 \). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Gọi \(O = AC \cap BD\), chứng minh \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
- Chứng minh \(ABCD\) là hình chữ nhật.
- Đặt \(AD = a,\,\,AB = x\), tính \(SO\) theo \(a\) và \(x\).
- Tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\), sử dụng BĐT Cô-si: \(ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\,\,\left( {a,\,\,b \ge 0} \right)\).
Gọi \(O = AC \cap BD\).
Tam giác \(SAC\) cân tại \(S\), \(SO\) là trung tuyến \( \Rightarrow SO \bot AC\).
Tam giác \(SBD\) cân tại \(S\), \(SO\) là trung tuyến \( \Rightarrow SO \bot BD\).
\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Vì \(SA = SB = SC = SD\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(ABCD\).
Hình bình hành \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(ABCD\) phải là hình chữ nhật.
Theo bài ra ta giả sử \(AD = a\) và đặt \(AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \).
\( \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}} \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOA\) có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{{{a^2} + {x^2}}}{4}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {7{a^2} - {x^2}} \).
Khi đó ta có \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\sqrt {7{a^2} - {x^2}} .ax = \dfrac{a}{6}x\sqrt {7{a^2} - {x^2}} \).
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(x\sqrt {7{a^2} - {x^2}} \le \dfrac{{{x^2} + 7{a^2} - {x^2}}}{2} = \dfrac{{7{a^2}}}{2}\) \( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} \le \dfrac{a}{6}.\dfrac{{7{a^2}}}{2} = \dfrac{{7{a^3}}}{{12}}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 7{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\).
Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{{7{a^3}}}{{12}}\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
