Tìm tất cả các giá trị thực \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 2mx + 3m - 5}}{{x - 2}}\) đồng

Câu hỏi số 416279:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 2mx + 3m - 5}}{{x - 2}}\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)?

A. \(m \ge - 1\)

B. \(m \le - 1\)

C. \(m \ge - 2\)

D. \(m > - 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:416279

Phương pháp giải

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Để hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\2 \notin \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

- Đưa bất phương trình về dạng \(g\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) \ge m\).

Giải chi tiết

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x - 2m} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 2mx + 3m - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{2{x^2} - 4x - 2mx + 4m - {x^2} + 2mx - 3m + 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} - 4x + m + 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

+ Để hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + m + 5 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\,\,\left( 1 \right)\\2 \notin \left( {2; + \infty } \right)\,\,\left( {Luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\)

+ Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} - 4x + m + 5\) ta có \(f'\left( x \right) = 2x - 4 = 2\left( {x - 2} \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\), do đó hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = m + 1.\)

Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.