Có bao nhiêu cặp số thực dương \(\left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn \({\log _2}a\) là số nguyên

Câu hỏi số 416818:

Vận dụng

Có bao nhiêu cặp số thực dương \(\left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn \({\log _2}a\) là số nguyên dương, \({\log _2}a = 1 + {\log _3}b\) và \({a^2} + {b^2} < {2020^2}?\)

A. \(6\)

B. \(7\)

C. \(5\)

D. \(8\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:416818

Phương pháp giải

Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a,\,\,b > 0\\{\log _2}a \in {\mathbb{Z}^ + }\\{\log _2}a = 1 + {\log _3}b\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{a^2} + {b^2} < {2020^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Đặt \({\log _2}a = k\,\,\,\left( {k \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\) \( \Rightarrow a = {2^k}\)

Tìm điều kiện của \(k\) thỏa mãn hệ điều kiện trên, với mỗi một giá trị của \(k\) sẽ có một cặp \(\left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Giải chi tiết

Đặt \({\log _2}a = k\,\,\,\left( {k \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\) \( \Rightarrow a = {2^k}\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow k = 1 + {\log _3}b\) \( \Leftrightarrow {\log _3}b = k - 1 \Leftrightarrow b = {3^{k - 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {{2^k}} \right)^2} + {\left( {{3^{k - 1}}} \right)^2} < {2020^2}\\ \Leftrightarrow {2^{2k}} + {3^{2k - 2}} < {2020^2}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( k \right) = {2^{2k}} + {3^{2k - 2}}\) ta có: \(f'\left( k \right) = {2.2^{2k}}\ln 2 + {2.3^{2k - 2}}\ln 3 > 0\,\,\forall k \in {\mathbb{Z}^ + }\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( k \right) = {2^{2k}} + {3^{2k - 2}}\) đồng biến với \(\forall k \in {\mathbb{Z}^ + }.\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 7 \right) = 547825\\{2020^2} = 4080400\\f\left( 8 \right) = 4848505\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( 7 \right) < {2020^2} < f\left( 8 \right)\)

\( \Rightarrow f\left( k \right) < {2020^2} \Leftrightarrow k \le 7.\)

Lại có \(k \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow k \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7} \right\}\)

Với mỗi một giá trị của \(k\) sẽ có một cặp \(\left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

\( \Rightarrow \) Có 7 cặp số \(\left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn bài toán.

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.