Có bao nhiêu cặp số thực dương \(\left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn \({\log _2}a\) là số nguyên dương, \({\log _2}a = 1 + {\log _3}b\) và \({a^2} + {b^2} < {2020^2}?\)

Câu 416818: Có bao nhiêu cặp số thực dương \(\left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn \({\log _2}a\) là số nguyên dương, \({\log _2}a = 1 + {\log _3}b\) và \({a^2} + {b^2} < {2020^2}?\)

A. \(6\)

B. \(7\)

C. \(5\)

D. \(8\)

Câu hỏi : 416818

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a,\,\,b > 0\\{\log _2}a \in {\mathbb{Z}^ + }\\{\log _2}a = 1 + {\log _3}b\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{a^2} + {b^2} < {2020^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Đặt \({\log _2}a = k\,\,\,\left( {k \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\) \( \Rightarrow a = {2^k}\)

Tìm điều kiện của \(k\) thỏa mãn hệ điều kiện trên, với mỗi một giá trị của \(k\) sẽ có một cặp \(\left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án : B
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a,\,\,b > 0\\{\log _2}a \in {\mathbb{Z}^ + }\\{\log _2}a = 1 + {\log _3}b\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{a^2} + {b^2} < {2020^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Đặt \({\log _2}a = k\,\,\,\left( {k \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\) \( \Rightarrow a = {2^k}\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow k = 1 + {\log _3}b\) \( \Leftrightarrow {\log _3}b = k - 1 \Leftrightarrow b = {3^{k - 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {{2^k}} \right)^2} + {\left( {{3^{k - 1}}} \right)^2} < {2020^2}\\ \Leftrightarrow {2^{2k}} + {3^{2k - 2}} < {2020^2}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( k \right) = {2^{2k}} + {3^{2k - 2}}\) ta có: \(f'\left( k \right) = {2.2^{2k}}\ln 2 + {2.3^{2k - 2}}\ln 3 > 0\,\,\forall k \in {\mathbb{Z}^ + }\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( k \right) = {2^{2k}} + {3^{2k - 2}}\) đồng biến với \(\forall k \in {\mathbb{Z}^ + }.\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 7 \right) = 547825\\{2020^2} = 4080400\\f\left( 8 \right) = 4848505\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( 7 \right) < {2020^2} < f\left( 8 \right)\)

\( \Rightarrow f\left( k \right) < {2020^2} \Leftrightarrow k \le 7.\)

Lại có \(k \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow k \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7} \right\}\)

Với mỗi một giá trị của \(k\) sẽ có một cặp \(\left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

\( \Rightarrow \) Có 7 cặp số \(\left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn bài toán.

Chọn B.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.