Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) +

Câu hỏi số 417461:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) + 2f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = x\), \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Tính giá trị của tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {xf\left( x \right)dx} \).

A. \(\dfrac{{15}}{8}\)

B. \(\dfrac{9}{8}\)

C. \(\dfrac{{13}}{8}\)

D. \(\dfrac{1}{8}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:417461

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \dfrac{1}{x}\), suy ra hệ phương trình, giải tìm \(f\left( x \right)\).

- Tính tích phân \(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {xf\left( x \right)dx} \), có thể sử dụng MTCT.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có: \(f\left( x \right) + 2f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = x\,\,\left( 1 \right)\), \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Đặt \(t = \dfrac{1}{x}\), khi đó (1) trở thành \(f\left( {\dfrac{1}{t}} \right) + 2f\left( t \right) = \dfrac{1}{t}\), suy ra \(f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\).

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) + 2f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = x\\f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) + 2f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = x\\4f\left( x \right) + 2f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{2}{x}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 3f\left( x \right) = \dfrac{2}{x} - x \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{2}{x} - x} \right)\).

Vậy \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {xf\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{3}\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2 - {x^2}} \right)dx} = \dfrac{1}{3}\left. {\left( {2x - \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2 = \dfrac{1}{8}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.