Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(SA\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\); \(AD = 2AB = 2BC = 2SA = 2a\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SD\) và \(\left( {SAC} \right)\). Chọn khẳng định đúng?

Câu 418417: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(SA\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\); \(AD = 2AB = 2BC = 2SA = 2a\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SD\) và \(\left( {SAC} \right)\). Chọn khẳng định đúng?

A. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\)

B. \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\)

C. \(\tan \alpha = \sqrt 2 \)

D. \(\tan \alpha = \sqrt 3 \)

Câu hỏi : 418417

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là góc giữa \(SD\) và hình chiếu của \(SD\) trên \(\left( {SAC} \right).\)

Đáp án : B
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Ta có: \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A,\,\,B\) và có: \(AB = BC = a\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.\)

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(C\) trên \(AD \Rightarrow K\) là trung điểm của \(AD.\)

\( \Rightarrow AK = KD = a\) và \(KC = a.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta CKD\) ta có:

\(C{D^2} = K{D^2} + C{K^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\)

Lại có: \(A{D^2} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\)

\( \Rightarrow A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} = 4{a^2}\)

\( \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C.\) (định lý Pitago đảo).

\( \Rightarrow CD \bot AC\)

Mà \(CD \bot SA\)

\( \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right).\)

\( \Rightarrow SC\) là hình chiếu vuông góc của \(SD\) trên \(\left( {SAC} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SD,\,\,\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {SD,\,\,SC} \right) = \angle CSD\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 .\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\) ta có:

\(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \)

Xét \(\Delta SCD\) vuông tại \(C\) ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle CSD = \dfrac{{SC}}{{SD}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\\\sin \angle CSD = \dfrac{{CD}}{{SD}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\\\tan \angle CSD = \dfrac{{SC}}{{CD}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.