Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm

Câu hỏi số 418780:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,BC\). Điểm \(I\) thuộc đoạn \(SA\). Biết mặt phẳng \(\left( {MNI} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần, phần chứa đỉnh \(S\) có thể tích bằng \(\dfrac{7}{{25}}\) lần phần còn lại. Tính tỉ số \(\dfrac{{IA}}{{IS}}\)?

A. \(\dfrac{5}{3}\)

B. \(\dfrac{2}{3}\)

C. \(\dfrac{3}{2}\)

D. \(\dfrac{3}{5}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:418780

Phương pháp giải

- Xác đinh thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {IMN} \right)\).

- Phân chia khối đa diện, cùng so sánh với \({V_{S.ABCD}}\).

- Đặt \(\dfrac{{SI}}{{SA}} = x\,\,\left( {0 < x < 1} \right)\), so sánh thể tích phần chứa đỉnh \(S\) với \({V_{S.ABCD}}\), lập và giải phương trình tìm \(x\).

Giải chi tiết

Giả sử \(SC \cap \left( {IMN} \right) = \left\{ P \right\}\) \( \Rightarrow \left( {IMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = IP\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {IMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = IP\\\left( {IMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\end{array} \right. \Rightarrow IP\parallel MN\parallel AC\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(\left\{ E \right\} = MN \cap CD\), trong \(\left( {SCD} \right)\) goji \(Q = NP \cap SD\).

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {MNI} \right)\) là ngũ giác \(IMNPQ\).

Gọi \({V_1} = {V_{S.BMNPQI}},\,\,V = {V_{S.ABCD}}\), theo bài ra ta có \({V_1} = \dfrac{7}{{32}}V\).

Ta có \({V_1} = {V_{S.BMN}} + {V_{S.IMN}} + {V_{S.INP}} + {V_{S.IPQ}}\).

Đặt \(\dfrac{{SI}}{{SA}} = x\,\,\,\left( {0 < x < 1} \right)\), áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{{SP}}{{SC}} = x\).

- Xét khối chóp \(S.BMN\) và \(S.ABCD\):

+ Có cùng chiều cao (cùng bằng khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABCD} \right)\)).

+ \({S_{BMN}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{8}{S_{ABC}}\) (do tam giác \(BMN\) và tam giác \(BAC\) đồng dạng theo tỉ số \(\dfrac{1}{2}\))

Do đó \({V_{S.BMN}} = \dfrac{1}{8}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{8}V\).

- Xét khối chóp \(S.IMN\) và \(S.AMN\):

\(\dfrac{{{V_{S.IMN}}}}{{{V_{S.AMN}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}} = x \Rightarrow {V_{S.IMN}} = x.{V_{S.AMN}}\).

Ta có \({S_{AMN}} = {S_{BMN}} = \dfrac{1}{8}{S_{ABCD}}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{8}V\) \( \Rightarrow {V_{S.IMN}} = \dfrac{x}{8}V\).

- Xét khối chóp \(S.INP\) và \(S.ANC\):

\(\dfrac{{{V_{S.INP}}}}{{{V_{S.ANC}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = {x^2} \Rightarrow {V_{S.IMN}} = {x^2}.{V_{S.ANC}}\).

Ta có \({S_{ANC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}}\) \( \Rightarrow {V_{S.ANC}} = \dfrac{1}{4}V\) \( \Rightarrow {V_{S.IMN}} = \dfrac{{{x^2}}}{4}V\).

- Xét khối chóp \(S.IPQ\) và \(S.ACD\): \(\dfrac{{{V_{S.IPQ}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}.\dfrac{{SQ}}{{SD}}\).

Ta có \(AMEC\) là hình bình hành nên \(EC = AM = \dfrac{1}{2}CD \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{ED}} = \dfrac{1}{3}\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SCD\) với cát tuyến \(EPQ\) ta có:

\(\dfrac{{PS}}{{PC}}.\dfrac{{EC}}{{ED}}.\dfrac{{QD}}{{QS}} = 1\) \( \Rightarrow \dfrac{x}{{1 - x}}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{{QD}}{{QS}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{QD}}{{QS}} = \dfrac{{3\left( {1 - x} \right)}}{x} \Rightarrow \dfrac{{SQ}}{{QD}} = \dfrac{x}{{3\left( {1 - x} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{SQ}}{{SQ + QD}} = \dfrac{x}{{x + 3\left( {1 - x} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{x}{{3 - 2x}}\end{array}\)

Suy ra \(\dfrac{{{V_{S.IPQ}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}.\dfrac{{SQ}}{{SD}} = {x^2}.\dfrac{x}{{3 - 2x}} = \dfrac{{{x^3}}}{{3 - 2x}}\)\( \Rightarrow {V_{S.IPQ}} = \dfrac{{{x^3}}}{{3 - 2x}}{V_{S.ACD}}\).

Mà \({S_{ACD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} \Rightarrow {V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{2}V\) \( \Rightarrow {V_{S.IPQ}} = \dfrac{{{x^3}}}{{2\left( {3 - 2x} \right)}}V\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{V_1} = {V_{S.BMN}} + {V_{S.IMN}} + {V_{S.INP}} + {V_{S.IPQ}}\\ \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{8}V + \dfrac{x}{8}V + \dfrac{{{x^2}}}{4}V + \dfrac{{{x^3}}}{{2\left( {3 - 2x} \right)}}V\\ \Rightarrow {V_1} = \left( {\dfrac{1}{8} + \dfrac{x}{8} + \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{{2\left( {3 - 2x} \right)}}} \right)V = \dfrac{7}{{32}}V\\ \Rightarrow \dfrac{1}{8} + \dfrac{x}{8} + \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{{2\left( {3 - 2x} \right)}} = \dfrac{7}{{32}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 + x + 2{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{{3 - 2x}} = \dfrac{7}{{16}}\\ \Leftrightarrow \left( {1 + x + 2{x^2}} \right).\left( {12 - 8x} \right) + 16{x^3} = 7\left( {3 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 12 + 12x + 24{x^2} - 8x - 8{x^2} - 16{x^3} + 16{x^3} = 21 - 14x\\ \Leftrightarrow 16{x^2} + 18x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{8}\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - \dfrac{3}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow \dfrac{{IS}}{{IA}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{IS}} = \dfrac{5}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.