Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({3^{x + y}} - {x^2}\left( {{3^x} - 1}

Câu hỏi số 419219:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({3^{x + y}} - {x^2}\left( {{3^x} - 1} \right) = \left( {x + 1} \right){.3^y} - {x^3}\) với \(x < 2020\)?

A. \(13\)

B. \(15\)

C. \(6\)

D. \(7\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:419219

Phương pháp giải

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Chứng minh phương trình \({3^x} - x - 1 = 0\) vô nghiệm bằng phương pháp hàm số.

- Rút \(y\) theo \(x\). Tìm dạng của số nguyên dương \(x\) và chặn giá trị của \(x\). Từ đó suy ra số cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{3^{x + y}} - {x^2}\left( {{3^x} - 1} \right) = \left( {x + 1} \right){.3^y} - {x^3}\\ \Leftrightarrow {3^x}{.3^y} - \left( {x + 1} \right){.3^y} = {x^2}\left( {{3^x} - 1} \right) - {x^3}\\ \Leftrightarrow {3^y}\left( {{3^x} - x - 1} \right) = {x^2}\left( {{3^x} - 1 - x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{3^x} - x - 1} \right)\left( {{3^y} - {x^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} - x - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{3^y} - {x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {3^x} - x - 1\) với \(x > 0\) ta có: \(f'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 - 1 > \ln 3 - 1 > 0\,\,\forall x > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\,\,\forall x > 0\). Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

Xét phương trình (2) \( \Leftrightarrow {3^y} = {x^2} \Leftrightarrow y = {\log _3}{x^2} = 2{\log _3}x > 0 \Leftrightarrow x > 1\).

Vì \(y \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(x\) có dạng \(x = {3^k}\), theo bài ra ta có \(x < 2020 \Leftrightarrow {3^k} < 2020 \Leftrightarrow k < {\log _3}2020 \approx 6,9\).

Mà \(x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x > 1\) nên \(k \in \mathbb{N}\), \(k > 0\), do đó \(k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).

Ứng với mỗi giá trị của \(k\) cho ta một cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có 6 cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.