Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { -

Câu hỏi số 419218:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\) của phương trình \(3f\left( {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt 2 }}} \right) - 7 = 0\) là:

A. \(6\)

B. \(3\)

C. \(5\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:419218

Phương pháp giải

- Sử dụng biến đổi: \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\).

- Đặt ẩn phụ \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\), tìm khoảng giá trị của \(t\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

- Dựa vào BBT xác định số nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện.

- Lập BBT hoặc vẽ đồ thị hàm số \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) trên \(\left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\), với mỗi giá trị \(t\) tìm số nghiệm \(x\) tương ứng.

Giải chi tiết

Ta có: \(3f\left( {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt 2 }}} \right) - 7 = 0\) \( \Leftrightarrow f\left( {\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right) = \dfrac{7}{3}\).

Đặt \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) .

Với \(x \in \left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\) \( \Rightarrow x - \dfrac{\pi }{4} \in \left[ { - \dfrac{{3\pi }}{2};\pi } \right]\) \( \Rightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Phương trình trở thành \(f\left( t \right) = \dfrac{7}{3}\,\,\,\left( * \right),\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = \dfrac{7}{3}\). Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\\t = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_3} \in \left( {0;1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_4} \in \left( {1; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Ta có đồ thị hàm số \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\) như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+ Phương trình \(t = {t_2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {t_2}\) có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình \(t = {t_3} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {t_3}\) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình ban đầu có 5 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.