Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Biết \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 419227:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Biết \(SA\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\), \(AB = BC = a\), \(AD = 2a\), \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Bán kính mặt cầu đi qua các điểm \(S,\,\,A,\,\,B,\,\,C,\,\,E\) bằng:

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt {30} }}{6}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

D. \(a\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:419227

Phương pháp giải

- Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\), chứng minh \(IS = IA = IB = IC = IE\).

- Sử dụng định lí Pytago để tính bán kính khối cầu.

Giải chi tiết

Xét tứ giác \(ABCE\) có \(AB = BC = AE = a,\,\,BC\parallel AE,\,\,\angle ABC = {90^0}\) nên \(ABCE\) là hình vuông.

Gọi \(O = AC \cap BD\), \(I\) là trung điểm của \(SC\) ta có \(OI\parallel SA\) (\(OI\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\)) nên \(OI \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do đó \(IA = IB = IC = IE\).

Lại có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A\) (tam giác vuông có trung điểm của cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác).

\( \Rightarrow IS = IA = IB = IC = IE\) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu đi qua các điểm \(S,\,\,A,\,\,B,\,\,C,\,\,E\), bán kính của khối cầu này là \(R = IS = \dfrac{1}{2}SC\).

Vì là hình vuông cạnh nên \(AC = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {2{a^2} + 2{a^2}} = 2a\).

Vậy \(R = \dfrac{1}{2}SC = a\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.