Tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( T \right)\) có tâm \(O\) có \(AB = AC\) và \(\angle BAC
Tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( T \right)\) có tâm \(O\) có \(AB = AC\) và \(\angle BAC > {90^0}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\), tia \(MO\) cắt \(\left( T \right)\) tại \(D\), \(BC\) lần lượt cắt \(AO\) và \(AD\) tại \(N,\,\,P\).
a) Chứng minh \(OCMN\) là tứ giác nội tiếp và \(\angle BDC = 4\angle ODC\).
b) Phân giác góc \(\angle BDP\) cắt \(BC\) tại \(E\), \(ME\) cắt \(AB\) tại \(F\). Chứng minh \(CA = CP\) và \(ME\) vuông góc với \(DB\).
c) Chứng minh tam giác \(MNE\) cân. Tính \(\dfrac{{DE}}{{DF}}\).
Quảng cáo
a) Chứng minh \(OCMN\) là tứ giác nội tiếp và \(\angle BDC = 4\angle ODC\).
*) Ta có: \(AB = AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC\).
\(OB = OC\) (cùng bằng bán kính) \( \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(BC\).
Khi đó ta có \(OA\) là trung trực của \(BC\) \( \Rightarrow OA \bot BC\) \( \Rightarrow \angle ONC = {90^0}\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(OM \bot AC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) \( \Rightarrow \angle OMC = {90^0}\).
Xét tứ giác \(OCMN\) có \(\angle ONC = \angle OMC = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\), suy ra \(OCMN\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối dưới các góc bằng nhau).
*) Xét tam giác \(ACD\) có: \(DM \bot AC\) (do \(OM \bot AC\)).
\( \Rightarrow DM\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.
Suy ra \(\Delta ACD\) cân tại \(D\) nên \(DM\) cũng là đường phân giác của \(\angle ADC\).
\( \Rightarrow \angle ADC = 2\angle ODC\) (1).
Ta có: \(AB = AC\,\,\left( {gt} \right)\) nên số đo cung \(AB\) = số đo cung \(AC\) (trong 1 đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle ADB = \angle ADC\) (Trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).
\( \Rightarrow AD\) là phân giác của \(\angle BDC\) \( \Rightarrow \angle BDC = 2\angle ADC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle BDC = 4\angle ODC\) (đpcm).
b) Phân giác góc \(\angle BDP\) cắt \(BC\) tại \(E\), \(ME\) cắt \(AB\) tại \(F\). Chứng minh \(CA = CP\) và \(ME\) vuông góc với \(DB\).
Ta có:
Số đo cung \(AB\) = số đo cung \(AC\) (cmt)
\( \Rightarrow \) số đo cung \(AB\) + số đo cung \(BD\) = số đo cung \(AC\) + số đo cung \(BD\).
\( \Rightarrow \) số đo cung \(AD\) = số đo cung \(AC\) + số đo cung \(BD\).
\( \Rightarrow \) số đo cung \(CD\) = số đo cung \(AC\) + số đo cung \(BD\)
(do \(AD = CD\) nên số đo cung \(AD\) = số đo cung \(CD\)).
Lại có: \(\angle DAC = \dfrac{1}{2}\) số đo cung \(CD\) (góc nội tiếp chắn cung \(CD\))
\(\angle APC = \dfrac{1}{2}\) (số đo cung \(AC\) + số đo cung \(BD\)) (góc có đỉnh nằm phía trong đường tròn chắn cung \(AC,\,\,BD\)).
\( \Rightarrow \angle DAC = \angle APC\) hay \(\angle PAC = \angle APC\).
Suy ra \(\Delta ACP\) cân tại \(C\) (tam giác có 2 góc bằng nhau) \( \Rightarrow CA = CP\). (đpcm)
Ta có \(\angle APC = \angle DPB\) (đối đỉnh);
\(\angle PAC = \angle DBP\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\)).
Mà \(\angle APC = \angle PAC\) (do tam giác \(ACP\) cân tại \(C\)) (cmt)
\( \Rightarrow \angle DPB = \angle DBP\) \( \Rightarrow \Delta BDP\) cân tại \(D\), do đó phân giác \(DE\) đồng thời là đường cao nên \(DE \bot BC\).
Xét tứ giác \(CDEM\) có \(\angle CED = \angle CMD = {90^0}\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(CDEM\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle MEC = \angle MDC = \angle ADM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MC\)).
Mà \(\angle MEC = \angle BEF\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \angle BEF = \angle ADM\) (3).
Ta có: \(\angle ADM + \angle DAM = {90^0}\) (do tam giác \(ADM\) vuông tại \(M\)).
\(\angle ADE + \angle DPE = {90^0}\) (do tam giác \(DEP\) vuông tại \(D\)).
Mà \(\angle DAM = \angle APC = \angle DPE\) nên \(\angle ADM = \angle ADE = \angle EDB\) (4).
Từ (3) và (4) suy ra \(\angle BEF = \angle EDB\).
Gọi \(EF \cap BD = \left\{ I \right\}\). Ta có: \(\angle DEI + \angle EDB = \angle DEI + \angle BEF = \angle DEB = {90^0}\).
\( \Rightarrow \Delta DEI\) vuông tại \(I\) \( \Rightarrow DI \bot IE\) hay \(ME \bot DB\) (đpcm).
c) Chứng minh tam giác \(MNE\) cân. Tính \(\dfrac{{DE}}{{DF}}\).
Ta có: \(\angle DBA = \dfrac{1}{2}\) số đo cung lớn \(AD\).
\( = \dfrac{1}{2}\) (số đo cung \(CD\) + số đo cung \(AC\))
\( = \dfrac{1}{2}\) (số đo cung \(CD\) + số đo cung \(AB)\)
\( = \angle CPD\) (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {180^0} - \angle DBA = \angle {180^0} - \angle CPD\\ \Rightarrow \angle DBF = \angle DPE = \angle BDE\end{array}\)
\( \Rightarrow BD\) là phân giác của \(\angle EBF\) (*).
\( \Rightarrow \Delta BEF\) cân tại \(B\) (phân giác \(BI\) đồng thời là đường cao).
\( \Rightarrow \angle BEF = \angle BFE\) (5) (2 góc ở đáy tam giác cân).
Ta có: \(\angle ANM = \angle ACO\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(OCMN\)).
Mà \(\angle ACO = \angle OAC = \angle OAB\) nên \(\angle ANM = \angle OAB\).
Hai góc này lại ở vị trí so le trong bằng nhau.
\( \Rightarrow MN\parallel AF\) (dhnb) \( \Rightarrow \angle NME = \angle BFE\) (6) (hai góc so le trong bằng nhau).
Từ (5) và (6) suy ra \(\angle BEF = \angle NME = \angle NEM\).
Suy ra tam giác \(MNE\) cân tại \(N\) (đpcm).
Vì \(\Delta BEF\) cân tại \(B\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(BE = BF\).
Xét \(\Delta BDE\) và \(\Delta BDF\) có:
\(\begin{array}{l}BE = BF\,\,\left( {cmt} \right);\\BD\,\,chung;\\\angle EBD = \angle FBD\,\,\left( {theo\,\,(*)} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta BDE = \Delta BDF\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow DE = DF\) (2 cạnh tương ứng)
Vậy \(\dfrac{{DE}}{{DF}} = 1\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
