Với \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3.\) Chứng minh

Câu hỏi số 420269:

Vận dụng cao

Với \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3.\) Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{a{{\left( {a + bc} \right)}^2}}}{{b\left( {ab + 2{c^2}} \right)}} + \dfrac{{b{{\left( {b + ca} \right)}^2}}}{{c\left( {bc + 2{a^2}} \right)}} + \dfrac{{c{{\left( {c + ab} \right)}^2}}}{{a\left( {ca + 2{b^2}} \right)}} \ge 4.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420269

Giải chi tiết

Với \(a,\,\,b,\,\,c > 0,\,\,a + b + c = 3\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{a{{\left( {a + bc} \right)}^2}}}{{b\left( {ab + 2{c^2}} \right)}} + \dfrac{{b{{\left( {b + ca} \right)}^2}}}{{c\left( {bc + 2{a^2}} \right)}} + \dfrac{{c{{\left( {c + ab} \right)}^2}}}{{a\left( {ca + 2{b^2}} \right)}}\\P = \dfrac{{{a^2}{{\left( {a + bc} \right)}^2}}}{{ab\left( {ab + 2{c^2}} \right)}} + \dfrac{{{b^2}{{\left( {b + ca} \right)}^2}}}{{bc\left( {bc + 2{a^2}} \right)}} + \dfrac{{{c^2}{{\left( {c + ab} \right)}^2}}}{{ca\left( {ca + 2{b^2}} \right)}}\end{array}\)

Áp dụng BĐT \(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} + \dfrac{{{c^2}}}{z} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}P \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3abc} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + 2abc\left( {a + b + c} \right)}}\\P \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3abc} \right)}^2}}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = p\\ab + bc + ca = q\\abc = r\end{array} \right.\), áp dụng BĐT Schur ta có: \(9r \ge p\left( {4q - {p^2}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 9abc \ge 3\left[ {4\left( {ab + bc + ca} \right) - 9} \right]\\ \Rightarrow 3abc \ge 4\left( {ab + bc + ca} \right) - 9\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P \ge \dfrac{{{{\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 4\left( {ab + bc + ca} \right) - 9} \right]}^2}}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}\\P \ge \dfrac{{{{\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) - 9} \right]}^2}}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}\\P \ge \dfrac{{{{\left[ {{3^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) - 9} \right]}^2}}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}\\P \ge \dfrac{{4{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}} = 4\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 1\).

Vậy \(P \ge 4\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link