Với \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3.\) Chứng minh

Câu hỏi số 420269:

Vận dụng cao

Với \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3.\) Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{a{{\left( {a + bc} \right)}^2}}}{{b\left( {ab + 2{c^2}} \right)}} + \dfrac{{b{{\left( {b + ca} \right)}^2}}}{{c\left( {bc + 2{a^2}} \right)}} + \dfrac{{c{{\left( {c + ab} \right)}^2}}}{{a\left( {ca + 2{b^2}} \right)}} \ge 4.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420269

Giải chi tiết

Với \(a,\,\,b,\,\,c > 0,\,\,a + b + c = 3\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{a{{\left( {a + bc} \right)}^2}}}{{b\left( {ab + 2{c^2}} \right)}} + \dfrac{{b{{\left( {b + ca} \right)}^2}}}{{c\left( {bc + 2{a^2}} \right)}} + \dfrac{{c{{\left( {c + ab} \right)}^2}}}{{a\left( {ca + 2{b^2}} \right)}}\\P = \dfrac{{{a^2}{{\left( {a + bc} \right)}^2}}}{{ab\left( {ab + 2{c^2}} \right)}} + \dfrac{{{b^2}{{\left( {b + ca} \right)}^2}}}{{bc\left( {bc + 2{a^2}} \right)}} + \dfrac{{{c^2}{{\left( {c + ab} \right)}^2}}}{{ca\left( {ca + 2{b^2}} \right)}}\end{array}\)

Áp dụng BĐT \(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} + \dfrac{{{c^2}}}{z} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}P \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3abc} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + 2abc\left( {a + b + c} \right)}}\\P \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3abc} \right)}^2}}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = p\\ab + bc + ca = q\\abc = r\end{array} \right.\), áp dụng BĐT Schur ta có: \(9r \ge p\left( {4q - {p^2}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 9abc \ge 3\left[ {4\left( {ab + bc + ca} \right) - 9} \right]\\ \Rightarrow 3abc \ge 4\left( {ab + bc + ca} \right) - 9\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P \ge \dfrac{{{{\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 4\left( {ab + bc + ca} \right) - 9} \right]}^2}}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}\\P \ge \dfrac{{{{\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) - 9} \right]}^2}}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}\\P \ge \dfrac{{{{\left[ {{3^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) - 9} \right]}^2}}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}\\P \ge \dfrac{{4{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}} = 4\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 1\).

Vậy \(P \ge 4\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link