Cho các phương trình \({x^2} + ax + 3 = 0\) và \({x^2} + bx + 5 = 0\) với \(a,\,\,\,b\) là tham số. a)

Câu hỏi số 420435:

Vận dụng

Cho các phương trình \({x^2} + ax + 3 = 0\) và \({x^2} + bx + 5 = 0\) với \(a,\,\,\,b\) là tham số.

a) Chứng minh nếu \(ab \ge 16\) thì trong hai phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.

b) Giả sử hai phương trình trên có nghiệm chung \({x_0}\). Tìm \(a,\,\,b\) sao cho \(\left| a \right| + \left| b \right|\) có giá trị nhỏ nhất.

A. \(b)\,\,\left( {a;\,\,b} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{7}{2};\,\,\dfrac{9}{2}} \right);\,\,\left( { - \dfrac{7}{2}; - \dfrac{9}{2}} \right);\,\,\left( {- 4; - 4} \right);\,\,\left( {4; 4} \right)} \right\}.\)

B. \(b)\,\,\left( {a;\,\,b} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{5}{2};\,\,\dfrac{11}{2}} \right);\,\,\left( { - \dfrac{5}{2}; - \dfrac{11}{2}} \right);\,\,\left( {- 4; - 4} \right);\,\,\left( {4; 4} \right)} \right\}.\)

C. \(b)\,\,\left( {a;\,\,b} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{5}{2};\,\,\dfrac{11}{2}} \right);\,\,\left( { - \dfrac{5}{2}; - \dfrac{11}{2}} \right)} \right\}.\)

D. \(b)\,\,\left( {a;\,\,b} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{7}{2};\,\,\dfrac{9}{2}} \right);\,\,\left( { - \dfrac{7}{2}; - \dfrac{9}{2}} \right)} \right\}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420435

Giải chi tiết

a) Chứng minh nếu \(ab \ge 16\) thì trong hai phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.

Đặt \({x^2} + ax + 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) và \({x^2} + bx + 5 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Ta có: \({\Delta _1} = {a^2} - 12\), \({\Delta _2} = {b^2} - 20\).

Xét \({\Delta _1} + {\Delta _2} = {a^2} + {b^2} - 32 \ge 2ab - 32 = 2.16 - 32 = 0\).

\( \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} \ge 0\).

Do đó có ít nhất một trong hai \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) không âm.

Vậy trong hai phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm.

b) Giả sử hai phương trình trên có nghiệm chung \({x_0}\). Tìm \(a,\,\,b\) sao cho \(\left| a \right| + \left| b \right|\) có giá trị nhỏ nhất.

Đặt \({x^2} + ax + 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) và \({x^2} + bx + 5 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Ta có: \({\Delta _1} = {a^2} - 12\), \({\Delta _2} = {b^2} - 20\).

Hai phương trình trên đều có nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} \ge 0\\{\Delta _2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 12 \ge 0\\{b^2} - 20 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\sqrt 3 \\a \le - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}b \ge 2\sqrt 5 \\b \le - 2\sqrt 5 \end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {**} \right).\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) có nghiệm chung là \({x_0}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 + a{x_0} + 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x_0^2 + b{x_0} + 5 = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

+) Cộng \(\left( 1 \right)\) với \(\left( 2 \right)\) ta được: \(2x_0^2 + \left( {a + b} \right){x_0} + 8 = 0\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

Phương trình \(\left( {**} \right)\) có nghiệm \({x_0} \Rightarrow \Delta \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} - 4.2.8 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 64\\ \Leftrightarrow \left| {a + b} \right| \ge 8\end{array}\)

Ta có: \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right| \ge 8\)

\( \Rightarrow Min\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right) = Min\left| {a + b} \right| = 8\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow ab \ge 0.\)

+) Trừ \(\left( 1 \right)\) cho \(\left( 2 \right)\) ta được: \(\left( {a - b} \right){x_0} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {a - b} \right){x_0} = 2.\,\,\left( 3 \right)\)

Vì \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge 8\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| + \left| b \right| = 8\\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left| a \right| = 8\\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 4\,\,\,\left( {ktm\,\,\,\left( * \right)} \right)\\a = b = - 4\,\,\,\left( {ktm\,\,\,\left( * \right)} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow a \ne b.\)

\( \Rightarrow \left( 3 \right) \Leftrightarrow {x_0} = \dfrac{2}{{a - b}}\)

Ta có: \(\left| a \right| + \left| b \right| = 8\) \( \Leftrightarrow \left| b \right| = 8 - \left| a \right|\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 8 - a \Rightarrow {x_0} = \dfrac{2}{{a + a - 8}} = \dfrac{1}{{a - 4}}\\b = - 8 - a \Rightarrow {x_0} = \dfrac{2}{{a + 8 + a}} = \dfrac{1}{{a + 4}}\end{array} \right.\)

Thay \({x_0} = \dfrac{1}{{a - 4}}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{1}{{a - 4}}} \right)^2} + \dfrac{a}{{a - 4}} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a - 4}}} \right)^2} + \dfrac{{a + 3a - 12}}{{a - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a - 4}}} \right)^2} + \dfrac{{4\left( {a - 4} \right) + 4}}{{a - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a - 4}}} \right)^2} + \dfrac{4}{{a - 4}} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a - 4}} + 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{a - 4}} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2a - 8 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow a = \dfrac{7}{2}\,\,\left( {tm\,\,\left( * \right)} \right)\\ \Rightarrow b = 8 - \dfrac{7}{2} = \dfrac{9}{2}\,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right)} \right)\end{array}\)

Thay \({x_0} = \dfrac{1}{{a + 4}}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{1}{{a + 4}}} \right)^2} + \dfrac{a}{{a + 4}} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a + 4}}} \right)^2} + \dfrac{{a + 3a + 12}}{{a + 4}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a + 4}}} \right)^2} + \dfrac{{4\left( {a + 4} \right) - 4}}{{a + 4}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a + 4}}} \right)^2} - \dfrac{4}{{a + 4}} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{a + 4}} - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{a + 4}} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2a + 8 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow a = - \dfrac{7}{2}\,\,\left( {tm\,\,\left( * \right)} \right)\\ \Rightarrow b = - 8 + \dfrac{7}{2} = - \dfrac{9}{2}\,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right)} \right)\end{array}\)

Vậy \(\left( {a;\,\,b} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{7}{2};\,\,\dfrac{9}{2}} \right);\,\,\left( { - \dfrac{7}{2}; - \dfrac{9}{2}} \right)} \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link