Cho phương trình \(3{x^2} - {y^2} = {23^n}\) với \(n\) là số tự nhiên. a) Chứng minh nếu \(n\) chẵn

Câu hỏi số 420437:

Vận dụng

Cho phương trình \(3{x^2} - {y^2} = {23^n}\) với \(n\) là số tự nhiên.

a) Chứng minh nếu \(n\) chẵn thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right).\)

b) Chứng minh nếu \(n\) lẻ thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420437

Giải chi tiết

a) Chứng minh nếu \(n\) chẵn thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right).\)

\(3{x^2} - {y^2} = {23^n}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} = {23^n} + {y^2}\)

Ta có: \({23^n} \equiv {\left( { - 1} \right)^n}\left( {\bmod \,\,3} \right) = 1\left( {\bmod \,\,3} \right)\) (vì \(n\) chẵn).

\({y^2} \equiv 0;\,\,1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\)

\( \Rightarrow 2.3^n + y^2\) không chia hết cho \(3\)

Mà \(3{x^2}\,\, \vdots \,\,\,3\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho vô nghiệm khi \(n\) chẵn.

b) Chứng minh nếu \(n\) lẻ thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right).\)

Với \(n\) là số tự nhiên lẻ, ta đặt \(n = 2k + 1,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ge 0} \right).\)

Khi đó ta có: \(3{x^2} - {y^2} = {23^n}\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - {y^2} = {23^{2k + 1}}\) \( \Leftrightarrow 3{x^2} - {y^2} = {23.23^{2k}}\,\,\,\,\left( * \right)\)

Chọn \(x = {3.23^k},\,\,y = {2.23^k}.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}3{x^2} - {y^2} = 3{\left( {{{3.23}^k}} \right)^2} - {\left( {{{2.23}^k}} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {27.23^k} - {4.23^{2k}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {23.23^k}\end{array}\)

\( \Rightarrow x = {3.23^k},\,\,y = {2.23^k}\) thỏa mãn \(\left( * \right).\)

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {{{3.23}^k};\,\,{{2.23}^k}} \right)\) với \(k \in \mathbb{Z},\,\,k \ge 0.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link