Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 4x + 2y + 6z – 12 = 0 và đường thẳng d: x = 5 + 2t; y = 4; z = 7 + t. Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(5; 0; 1), biết đường thẳng ∆ tạo với đường thẳng d một góc φ thỏa mãn cos φ = .

Câu hỏi số 42090:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình:

x²+ y² + z² - 4x + 2y + 6z – 12 = 0 và đường thẳng

d: x = 5 + 2t; y = 4; z = 7 + t.

Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(5; 0; 1), biết đường thẳng ∆ tạo với đường thẳng d một góc φ thỏa mãn cos φ = $\frac{1}{\sqrt{7}}$ .

A. $\left\{\begin{matrix} x = 5 - 13t & \\ y = 5t & \\ z = - 1 + 11t & \end{matrix}\right.$

B. $\left\{\begin{matrix} x = 5 - 13t & \\ y = 5t & \\ z = 1 + 11t & \end{matrix}\right.$

C. $\left\{\begin{matrix} x = 5 - 13t & \\ y = 5t & \\ z = 1 - 11t & \end{matrix}\right.$

D. $\left\{\begin{matrix} x = 5 + 13t & \\ y = 5t & \\ z = 1 - 11t & \end{matrix}\right.$ ; $\left\{\begin{matrix} x = 5 + 3t & \\ y = -5t & \\ z = 1 - t & \end{matrix}\right.$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42090

Giải chi tiết

(S) có tâm I(2; -1; -3) và bán kính R = √26

$\vec{IM}$ = (3; 1; 4), $\vec{u_1}$ = (2; 0; 1) là 1 vecto chỉ phương của d

Giả sử $\vec{u_2}$ = (a; b; c) là 1 vecto chỉ phương của đường thẳng ∆, a² + b² + c² ≠ 0

Do ∆ tiếp xúc mặt cầu (S) tại M ⇔ $\vec{IM}$ ⊥ $\vec{u_2}$ <=> 3a + b + 4c = 0

⇔ b = - 3a – 4c (1)

Mà góc giữa ∆ và đường thẳng d bằng φ.

=> |cos( $\vec{u_1}$ ; $\vec{u_2}$ )| = cos φ <=> $\frac{|\vec{u_1. \vec{u_2}}|}{|\vec{u_1}| |\vec{u_2}|}$ = $\frac{1}{\sqrt{7}}$

<=> $\frac{|2a + c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} . \sqrt{5}}$ = $\frac{1}{\sqrt{7}}$ (2)

Thay (1) vào (2) ta được √7 |2a + c| = √5. $\sqrt{a^2 + (3a + 4c)^2 + c^2}$

<=> 7(4a² + 4ac + c²) = 5(a² + 9a² + 24ac + 16c² + c²)

⇔ 22a² + 92ac + 78c² = 0

⇔ a = -3c hoặc a = - $\dpi{80} \frac{13}{11}$ c

Với a = -3c, do a² + b² + c² ≠ 0 thì chọn c = -1 => a = 3, b = -5

Phương trình đường thẳng ∆: $\left\{\begin{matrix} x = 5 + 3t & \\ y = -5t & \\ z = 1 - t & \end{matrix}\right.$

Với a = - $\dpi{80} \frac{13}{11}$ c, do a² + b² + c² ≠ 0 thì chọn c = -11 => a = 13, b = 5

Phương trình đường thẳng ∆: $\left\{\begin{matrix} x = 5 + 13t & \\ y = 5t & \\ z = 1 - 11t & \end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.