Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\),\(SA = a\sqrt 6 \), \(ABCD\)là nửa lục giác

Câu hỏi số 422856:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\),\(SA = a\sqrt 6 \), \(ABCD\)là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính \(AD = 2a\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422856

Phương pháp giải

- Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\), chứng minh \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Đổi điểm, chứng minh \(d\left( {I;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\), chứng minh \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).

- Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AH\).

Giải chi tiết

Vì \(ABCD\) là nửa lục giác đều nên là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AD = 2a\) và \(AB = BC = CD = a\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ID = BC = a\\ID\parallel BC\end{array} \right. \Rightarrow BCDI\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow BI\parallel CD \Rightarrow BI\parallel \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Lại có: \(AI \cap \left( {SCD} \right) = D\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {I;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{ID}}{{AD}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SCD} \right)\) dựng \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\) ta có

\(\angle ACD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH\end{array}\)

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại C ta có: \(AC = \sqrt {A{D^2} - C{D^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAC\) ta có: \(AI = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 .a\sqrt 3 }}{{\sqrt {6{a^2} + 3{a^2}} }} = a\sqrt 2 \).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}HK = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.