Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên hợp với mặt đáy góc

Câu hỏi số 422857:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên hợp với mặt đáy góc \(60^\circ \). Hình nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(S\), đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác \(ABCD\). Diện tích xung quanh của hình nón \(\left( N \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt 7 \pi {a^2}}}{4}.\)

B. \(\dfrac{{2\pi {a^2}}}{3}.\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^2}}}{2}.\)

D. \(\dfrac{{\pi {a^2}}}{2}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422857

Phương pháp giải

- Tìm bán kính \(r\) đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\), chính là bán kính đáy hình nón \(\left( N \right)\)

- Xác định góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, tính chiều cao \(h\) của khối chóp, đồng thời là đường cao của hình nón.

- Tính độ dài đường sinh của hình nón: \(l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} \).

- Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r\), đường sinh \(l\) là \({S_{xq}} = \pi rl\).

Giải chi tiết

Gọi \(H = AC \cap BD\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow HC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {60^0}\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), ta có \(OM\) là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\), chính là bán kính đáy hình nón \(\left( N \right)\) và \(r = OM = \dfrac{a}{2}\).

Xét tam giác vuông \(SHC\) có: \(\angle SCH = {60^0}\), \(HC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow SH = HC.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = h\).

Suy ra độ dài đường sinh của hình nón \(\left( N \right)\) là: \(l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{6{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 7 \pi {a^2}}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.