Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân đỉnh \(A\),\(AB = a\sqrt 2 \). Gọi \(I\) là

Câu hỏi số 422862:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân đỉnh \(A\),\(AB = a\sqrt 2 \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(H\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IH} \), góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ .\) Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng:

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}.\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}.\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}.\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{12}}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422862

Phương pháp giải

- Xác định điểm H.

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính \(HC\).

- Xác định góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(SH\).

- Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp tam giác: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Tam giác ABC vuông cân tại A và \(AB = a\sqrt 2 \Rightarrow BC = 2a\) \( \Rightarrow IA = IB = IC = \dfrac{1}{2}BC = a\) (Định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

\( \Rightarrow IH = \dfrac{1}{2}AI = \dfrac{a}{2}\).

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AI \bot BC\) \( \Rightarrow \Delta HIC\) vuông tại \(I\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(HC = \sqrt {I{C^2} - I{H^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(HC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(SHC\) ta có: \(SH = HC.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}\).

Lại có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = {a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.