Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O.\)

Câu hỏi số 422974:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Kẻ đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(d'\) là đường thẳng qua \(B\) và song song với \(d\); \(d'\) cắt các đường thẳng \(AO,AC\) lần lượt tại \(E,D\). Kẻ \(AF\) là đường cao của tam giác \(ABC\) (\(F\) thuộc \(BC\)).

a) Chứng minh rằng tứ giác ABFE nội tiếp.

b) Chứng minh rằng \(A{B^2} = AD.AC\).

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Chứng minh rằng \(MN\) vuông góc với \(EF\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422974

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng tứ giác ABFE nội tiếp.

Ta có: \(AF \bot BC \Rightarrow \angle AFB = {90^0}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot d\\d'//d\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot d' \Rightarrow \angle AEB = {90^0}\)

Tứ giác \(ABFE\) có \(\angle AFB = \angle AEB = {90^0}\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau) (đpcm).

b) Chứng minh rằng \(A{B^2} = AD.AC\).

Ta có:\(d//d'\) \( \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {A_1}\) (so le trong)

Mà \(\angle {A_1} = \angle {C_1}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AB\))

\( \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {C_1}\,\,\,\left( { = \angle {A_1}} \right)\).

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACB\) có:

\(\angle A\,\,\,chung\)

\(\angle {B_1} = \angle {C_1}\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta ACB\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow A{B^2} = AD.AC\) (đpcm).

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Chứng minh rằng \(MN\) vuông góc với \(EF\).

Gọi \(H\) là giao điểm của \(EF\) với \(AC\).

Ta có: \(\angle {E_1} = \angle {E_2}\) (đối đỉnh)

Tứ giác \(ABFE\) nội tiếp nên \(\angle {E_2} = \angle {A_2}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\))

\( \Rightarrow \angle {E_1} = \angle {A_2}\) \(\left( { = \angle {E_2}} \right)\)

Lại có \(\Delta ABD \sim \Delta ACB\left( {cmt} \right)\) nên \(\angle ADB = \angle ABC\) (góc tương ứng)

\( \Rightarrow \angle ADB + \angle {E_1} = \angle ABC + \angle {A_2} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle EHD = {180^0} - \left( {\angle ADB + \angle {E_1}} \right) = {180^0} - {90^0} = {90^0}\)

\( \Rightarrow FE \bot AC\) (1)

Mà \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(MN//AC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EF \bot MN\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link