Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có hai đường cao \(BE\) và \(CF\)

Câu hỏi số 423317:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có hai đường cao \(BE\) và \(CF\) cắt nhau tại trực tâm \(H,\,\,AB < AC.\) Vẽ đường kính \(AD\) của \(\left( O \right).\) Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(AH\) với đường tròn \(\left( O \right),\,\,\,K \ne A.\) Gọi \(L,\,\,P\) lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng \(BC\) và \(EF,\,\,AC\) và \(KD.\)

1) Chứng minh tứ giác \(EHKP\) nội tiếp đường tròn và tâm \(I\) của đường tròn này thuộc đường thẳng \(BC.\)

2) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC.\) Chứng minh \(AH = 2OM.\)

3) Gọi \(T\) là giao điểm của đường tròn \(\left( O \right)\) với đường tròn ngoại tiếp \(\Delta EFK,\,\,\,T \ne K.\)Chứng minh rằng ba điểm \(L,\,\,K,\,\,T\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:423317

Giải chi tiết

1) Chứng minh tứ giác \(EHKP\) nội tiếp đường tròn và tâm \(I\) của đường tròn này thuộc đường thẳng \(BC.\)

Ta có: \(BE\) là đường cao của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow BE \bot AC\) hay \(\angle BEC = \angle HEC = {90^0}\)

\(\angle AKD\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow AKD = {90^0}\)

Xét tứ giác \(EHKP\) ta có:

\(\angle HEP + \angle HKP = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow EHKP\) là tứ giác nội tiếp (đpcm).

Có: \(\angle HKP = {90^0}\) là góc nội tiếp chắn cung \(HP\)

\( \Rightarrow HP\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(EHKP.\)

\( \Rightarrow \) Tâm \(I\) của đường tròn này là trung điểm của \(HP.\)

Gọi \(J\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC.\)

Ta có: \(\angle HBJ = \angle HAC\) (cùng phụ với \(\angle ACB\))

\(\angle KBC = \angle KAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(KC\))

Hay \(\angle JBK = \angle HAC\)

\( \Rightarrow \angle HBJ = \angle JBK\,\,\left( { = \angle HAC} \right)\)

\( \Rightarrow BJ\) là phân giác của \(\angle HBK\)

Ta có: \(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow AH \bot BC = \left\{ J \right\}.\)

\( \Rightarrow BJ\) là đường cao của \(\Delta BHK.\)

Xét \(\Delta BHK\) ta có: \(BJ\) vừa là đường cao, vừa là đường phân giác từ đỉnh \(B\) của tam giác

\( \Rightarrow \Delta BHK\) cân tại \(B\) và \(BJ\) là đường trung tuyến của \(\Delta BHK\)

\( \Rightarrow J\) là trung điểm của \(HK.\)

Gọi \(I'\) là giao điểm của \(BC\) và \(HP\)

Ta có: \(AJ \bot BC = \left\{ J \right\}\)

Mà \(KP \bot AH = \left\{ K \right\}\) \( \Rightarrow BC//KP\) hay \(JI'//KP\)

Xét \(\Delta HKP\) ta có:

\(J\) là trung điểm của \(HK\) (cmt)

\(IJ//KP\) (cmt)

\( \Rightarrow I'J\) là đường trung bình của \(\Delta HKP.\)

\( \Rightarrow I'\) là trung điểm của \(HP\)

\( \Rightarrow I \equiv I'\) hay \(I \in BC.\,\,\,\) (đpcm).

2) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC.\) Chứng minh \(AH = 2OM.\)

Ta có: \(\angle ABD = \angle ACD = {90^0}\) (hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot BD\\AC \bot CD\end{array} \right.\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot EF\,\,\left( {gt} \right)\\BE \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CF//BD\\BE//CD\end{array} \right.\) (từ vuông góc đến song song)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}BH//CD\\CH//BD\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BDCH\) là hình bình hành (dhnb)

\( \Rightarrow BC\) cắt \(HD\) tại trung điểm của mỗi đường

Lại có \(M\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

\( \Rightarrow M\) cũng là trung điểm của \(HD.\)

Xét \(\Delta AHD\) ta có:

\(O,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,\,HD\)

\( \Rightarrow OM\) là đường trung bình của \(\Delta AHD\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM//AH\\OM = \dfrac{1}{2}AH\end{array} \right. \Rightarrow AH = 2OM\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

3) Gọi \(T\) là giao điểm của đường tròn \(\left( O \right)\) với đường tròn ngoại tiếp \(\Delta EFK,\,\,\,T \ne K.\)Chứng minh rằng ba điểm \(L,\,\,K,\,\,T\) thẳng hàng. (Sưu tầm – trantanlai@yahoo.com)

Gọi \(T'\) là giao điểm của tia \(LK\) với đường tròn \(\left( O \right)\)

Xét tứ giác \(BFEC\) ta có:

\(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\)

Mà đỉnh \(F,\,\,E\) là các đỉnh kề nhau

\( \Rightarrow BFEC\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

\( \Rightarrow \angle LFB = \angle LCE\) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét \(\Delta LFB\) và \(LCE\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle L\,\,\,chung\\\angle LFB = \angle LCE\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta LFB \sim \Delta LCE\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{LF}}{{LC}} = \dfrac{{LB}}{{LE}} \Rightarrow LE.LF = LB.LC\end{array}\)

Ta có tứ giác \(BCT'K\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle LKB = \angle LCT'\) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét \(\Delta LBK\) và \(\Delta LCT'\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle L\,\,\,chung\\\angle LKB = \angle LCT'\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta LBK \sim \Delta LT'C\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{LB}}{{LT'}} = \dfrac{{LK}}{{LC}} \Leftrightarrow LB.LC = LK.LT'\\ \Rightarrow LE.LF = LK.LT'\,\,\,\left( { = LB.LC} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{LF}}{{LT'}} = \dfrac{{LK}}{{LE}}\end{array}\)

Xét \(\Delta LFK\) và \(\Delta LT'E\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle ELT'\,\,\,chung\\\dfrac{{LF}}{{LT'}} = \dfrac{{LK}}{{LE}}\\ \Rightarrow \Delta LFK \sim \Delta LT'E\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle LKF = \angle LET'\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow EFKT'\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

\( \Rightarrow T'\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(EFK.\)

\( \Rightarrow T \equiv T' \Rightarrow L,\,\,K,\,\,T\) thẳng hàng. (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link