Cho hình chóp \(S.ABC\), mặt phẳng \((SBC)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), cạnh \(SB = SC = 1\),
Cho hình chóp \(S.ABC\), mặt phẳng \((SBC)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), cạnh \(SB = SC = 1\), \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^o}\). Gọi \(M,\,\,N\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(SA,\,\,SB\) sao cho \(SA = x\,SM\,\,(x > 0)\), \(SB = 2SN\). Giá trị \(x\)bằng bao nhiêu để thể tích khối tứ diện \(SCMN\) bằng \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{32}}\)? \(\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác : Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,\,SB,\,SC\). Khi đó, \(\dfrac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\). Từ đó suy ra thể tích khối chóp \(S.ABC\).
- Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và tính \(SH\).
- Tính diện tích \(\Delta ABC\) theo \(x\).
- Đặt \(SA = m\,\,\left( {m > 0} \right)\), sử dụng định lí Cosin trong tam giác tính \(AB\).
- Chứng minh \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), từ đó suy ra \(AH \bot BC\).
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABH\) tìm \(x\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), do tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) \( \Rightarrow SH \bot BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = BC\\SH \subset \left( {SBC} \right),SH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Tam giác \(SBC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}SB = SC = 1\\\angle BSC = {60^0}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \Delta SBC\) đều cạnh 1 và \(SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\), \(BH = CH = \dfrac{1}{2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.CMN}}}}{{{V_{S.CAB}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{2x}}\\ \Rightarrow {V_{S.CAB}} = 2x{V_{S.CMN}} = 2x.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{32}} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{{16}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{{16}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{{16}}\\ \Leftrightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{x\sqrt 6 }}{8}\end{array}\)
Đặt \(SA = m\,\,\left( {m > 0} \right)\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SHA\) có: \(AH = \sqrt {S{A^2} - S{H^2}} = \sqrt {{m^2} - \dfrac{3}{4}} \).
Xét \(\Delta SAB\) và \(\Delta SAC\) có: \(SA\) chung, \(\angle ASB = \angle ASC = {60^0}\), \(SB = SC = 1\).
\( \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAC\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AB = AC\).
\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AH \bot BC\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(SAB\) ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = S{B^2} + S{A^2} - 2.SA.SB.\cos \angle ASB\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + {m^2} - 2.1.m.\dfrac{1}{2} = {m^2} - m + 1\end{array}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABH\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\ \Leftrightarrow {m^2} - m + 1 = {m^2} - \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AH = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2} - \dfrac{3}{4}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}.1 = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{x\sqrt 6 }}{8} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4} \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
