Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ đường thẳng \(d\) vuông góc với OA tại M \(\left(
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ đường thẳng \(d\) vuông góc với OA tại M \(\left( {M \ne O,A} \right)\). Trên \(d\) lấy điểm N sao cho N nằm bên ngoài nửa đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ tiếp tuyến \(NE\) với nửa đường tròn \(\left( O \right)\) (E là tiếp điểm, E và A nằm cùng phía đối với đường thẳng \(d\))
a) Chứng minh tứ giác OMEN nội tiếp được đường tròn.
b) Nối NB cắt nửa đường tròn (O) tại C. Chứng minh \(N{E^2} = NC.NB\).
c) Gọi H là giao điểm của AC và \(d\), F là giao điểm của tia EH và nửa đường tròn (O). Chứng minh \(\angle NEF = \angle NOF\)
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác OMEN nội tiếp được đường tròn.
Ta có: \(d \bot OA \Rightarrow \angle NMO = {90^0}\)
\(NE\) là tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) tại \(E\) nên \(OE \bot NE \Rightarrow \angle NEO = {90^0}\)
Tứ giác \(OMEN\) có \(\angle NMO = \angle NEO = {90^0}\)
Nên \(OMEN\) là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng) (đpcm)
b) Nối NB cắt nửa đường tròn (O) tại C. Chứng minh \(N{E^2} = NC.NB\).
Nối \(E\) với \(C,\,\,E\) với \(B.\)
Xét \(\Delta NEC\) và \(\Delta NBE\) có:
\(\angle N\,\,\,chung\)
\(\angle NBE = \angle NEC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(EC\))
\( \Rightarrow \Delta NEC \sim \Delta NBE\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{NE}}{{NB}} = \dfrac{{NC}}{{NE}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow N{E^2} = NB.NC\) (đpcm)
c) Gọi H là giao điểm của AC và \(d\), F là giao điểm của tia EH và nửa đường tròn (O). Chứng minh \(\angle NEF = \angle NOF\)
Xét \(\Delta NCH\) và \(\Delta NMB\) có:
\(\begin{array}{l}\angle N\,\,\,chung\\\angle NCH = \angle NMB = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta NCH \sim \Delta NMB\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{NC}}{{NM}} = \dfrac{{NH}}{{NB}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow NC.NB = NH.NM\)
Mà \(N{E^2} = NB.NC\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(N{E^2} = NH.NM\) \( \Rightarrow \dfrac{{NE}}{{NM}} = \dfrac{{NH}}{{NE}}\)
Xét \(\Delta NEH\) và \(\Delta NME\) có:
\(\begin{array}{l}\angle N\,\,\,chung\\\dfrac{{NE}}{{NM}} = \dfrac{{NH}}{{NE}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta NEH \sim \Delta NME\,\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle NHE = \angle NEM\) (các góc tương ứng) (1)
Kẻ tiếp tuyến \(NF'\) với nửa đường tròn \(\left( O \right).\)
Do \(NE = NF'\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow NF{'^2} = NH.NM\) \( \Rightarrow \dfrac{{NF'}}{{NH}} = \dfrac{{NM}}{{NF'}}\)
Xét \(\Delta NF'H\) và \(\Delta NMF'\) có:
\(\begin{array}{l}\angle N\,\,\,chung\\\dfrac{{NF'}}{{NH}} = \dfrac{{NM}}{{NF'}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta NF'H \sim \Delta NMF'\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle NHF' = \angle NF'M\) (các góc tương ứng) (2)
Lại có tứ giác \(OMEN\) nội tiếp (câu a) nên bốn điểm \(O,\,\,M,\,\,E,\,\,N\) cùng thuộc một đường tròn. (3)
Tứ giác \(OENF'\) có \(\angle OEN + \angle OF'N = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\))
Do đó bốn điểm \(O,\,\,E,\,\,N,\,\,F'\) cùng thuộc một đường tròn. (4)
Từ (3) và (4) suy ra 5 điểm \(O,\,\,M,\,\,E,\,\,N,\,\,F'\) cùng thuộc một đường tròn.
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(MENF'\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle NEM + \angle NF'M = {180^0}\) (tính chất) (5)
Từ (1), (2) và (5) suy ra \( \Rightarrow \angle NHE + \angle NHF' = \angle NEM + \angle NF'M = {180^0}\)
\( \Rightarrow E,H,F'\) thằng hàng hay \(F'\) là giao điểm của \(EH\) với nửa đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow F' \equiv F\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(NEOF\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle NEF = \angle NOF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(NF\)) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
