Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 = 17 và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(8; 0; -23), nằm trong (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Câu hỏi số 42438:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

(x + 1)²+ (y + 1)² + (z + 3)² = 17 và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 7 = 0.

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(8; 0; -23), nằm trong (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

A. $\left\{\begin{matrix} x=8+4t\\ y=t\\ z=-23-10t \end{matrix}\right. ;\left\{\begin{matrix} x=8-\frac{224}{61}t\\ y=t\\ z=-23+\frac{326}{61}t \end{matrix}\right.$

B. $\left\{\begin{matrix} x=8+2t\\ y=t\\ z=-23-10t \end{matrix}\right. ;\left\{\begin{matrix} x=6-\frac{224}{61}t\\ y=t\\ z=-23-\frac{326}{61}t \end{matrix}\right.$

C. $\left\{\begin{matrix} x=8+4t\\ y=t\\ z=23-10t \end{matrix}\right. ;\left\{\begin{matrix} x=8-\frac{224}{61}t\\ y=t\\ z=23-\frac{326}{61}t \end{matrix}\right.$

D. $\left\{\begin{matrix} x=8-4t\\ y=t\\ z=-23-10t \end{matrix}\right. ;\left\{\begin{matrix} x=8+\frac{224}{61}t\\ y=t\\ z=-23-\frac{326}{61}t \end{matrix}\right.$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42438

Giải chi tiết

(S) có tâm I(-1; -1; -3) bán kính R = √17. (P) có vecto pháp tuyến

$\overrightarrow{n}$ = (2; 2; 1) .

Gọi $\overrightarrow{u}$ = (a, b, c) là vecto chỉ phương đường thẳng ∆ cần tìm (a² + b² + c² > 0)

∆ ⊂ (P) => $\overrightarrow{u}$ ⊥ $\overrightarrow{n}$ ⇔ 2a + 2b + c = 0 ⇔ c = -2a - 2b (1)

Ta có $\overrightarrow{AI}$ = (-9; 2; 20), [ $\overrightarrow{AI}$ , $\overrightarrow{u}$ ] = (2c - 20b, 20a + 9c, -9b - 2a)

∆ tiếp xúc (S) ⇔ d(I, ∆) = R ⇔ $\frac{|[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{u}]|}{|\overrightarrow{u}|}$ = √17

⇔ $\sqrt{(2c-20b)^{2}+(20a+9c)^{2}+(-9b-2a)^{2}}$

= √17. $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ (2)

+Từ (1) và (2) ta có

(- 4a – 24b)²+ (2a – 18b)² + (-9b - 2a)² = 17[a² + b² + (-2a - 2b)²]

⇔ 896b² – 61a²+ 20ab = 0

+Với b = 0 thì a = 0 => c = 0 vô lí, vậy b ≠ 0. Chọn b = 1

Ta có – 61a²+ 20a + 896 = 0 ⇔ a = 4 hoặc a = $\frac{-224}{61}$

+Với a = 4, b = 1 thì c = -10; với a = $\frac{-224}{61}$ , b = 1 thì c = $\frac{326}{61}$

Vậy có hai đường thẳng thỏa bài toán là

$\left\{\begin{matrix} x=8+4t\\ y=t\\ z=-23-10t \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=8-\frac{224}{61}t\\ y=t\\ z=-23 +\frac{326}{61}t \end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.