Giải phương trình \(\cos 3x\tan 5x = \sin 7x\).

Câu hỏi số 424888:

Vận dụng cao

A. \(x = \dfrac{n\pi }{{2}};\,\,x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{13}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).

B. \(x = \dfrac{n\pi }{{2}};\,\,x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).

C. \(x = n\pi ;\,\,x = \dfrac{3\pi }{{5}} + \dfrac{{2k\pi }}{{7}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).

D. \(x = n\pi ;\,\,x = \dfrac{3\pi }{{5}} + \dfrac{{7k\pi }}{{13}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:424888

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Sử dụng công thức \(\tan 5x = \dfrac{{\sin 5x}}{{\cos 5x}}\).

- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {sin\left( {a + b} \right) + sin\left( {a - b} \right)} \right]\).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\cos 5x \ne 0 \Leftrightarrow 5x \ne \dfrac{\pi }{2} + m\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{m\pi }}{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos 3x\tan 5x = \sin 7x\\ \Leftrightarrow \cos 3x\sin 5x = \sin 7x\cos 5x\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 12x + \sin 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 8x + \sin 2x = \sin 12x + \sin 2x\\ \Leftrightarrow \sin 12x = \sin 8x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}12x = 8x + k2\pi \\12x = \pi - 8x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Đối chiếu điều kiện ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{k\pi }}{2} \ne \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{m\pi }}{5}\,\,\left( {k,\,\,m \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow 5k \ne 1 + 2m\\ \Leftrightarrow k \ne \dfrac{{1 + 2m}}{5}\end{array}\)

Vì \(2m + 1\) lẻ nên \(\dfrac{{2m + 1}}{5}\) lẻ \( \Rightarrow k\) chẵn, đặt \(k = 2n\), khi đó ta có \(x = \dfrac{{2n\pi }}{2} = n\pi \) \(\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}} \ne \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{m\pi }}{5}\,\,\left( {k,\,\,m \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow 1 + 2k \ne 2 + 4m\end{array}\)

Vì \(1 + 2k\) lẻ, \(2 + 4m\) chẵn nên \(1 + 2k \ne 2 + 4m\) luôn đúng với mọi \(k,\,\,m \in \mathbb{Z}\).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = n\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.