Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(O\) là trung điểm của
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(O\) là trung điểm của \(MC\). Vẽ đường tròn tâm \(O\), bán kính \(OC\). Kẻ \(BM\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(D\), đường thẳng \(AD\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\).
a) Chứng minh \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(\Delta MAB \sim \Delta MDC\) và tính tích \(MB.MD\) theo \(AC\).
c) Gọi \(F\) là giao điểm của \(CE\) với \(BD\) và \(N\) là giao điểm của \(BE\) với \(AC\).
Chứng minh \(MB.NE.CF = MF.NB.CE\).
Quảng cáo
a) Chứng minh \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.
Ta có: \(\angle MDC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)).
\( \Rightarrow \angle BDC = \angle BAC = {90^0}\).
\( \Rightarrow ABCD\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) Chứng minh \(\Delta MAB \sim \Delta MDC\) và tính tích \(MB.MD\) theo \(AC\).
Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MDC\) có:
\(\angle AMB = \angle DMC\) (đối đỉnh); \(\angle MAB = \angle MDC = {90^0}\).
\( \Rightarrow \Delta MAB \sim \Delta MDC\,\,\left( {g.g} \right)\).
\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MB}}{{MC}}\) (hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrow MB.MD = MA.MC\).
Mà \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MA = MC = \dfrac{1}{2}AC\) \( \Rightarrow MA.MC = \dfrac{1}{2}AC.\dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{4}A{C^2}\).
Vậy \(MB.MD = \dfrac{1}{4}A{C^2}\).
c) Gọi \(F\) là giao điểm của \(CE\) với \(BD\) và \(N\) là giao điểm của \(BE\) với \(AC\).
Chứng minh \(MB.NE.CF = MF.NB.CE\).
Kẻ \(EG//BF\,\,\left( {G \in AC} \right)\) ta có:
\(\dfrac{{NB}}{{NE}} = \dfrac{{MB}}{{EG}}\,\,\left( 1 \right)\) và \(\dfrac{{CE}}{{CF}} = \dfrac{{EG}}{{MF}}\,\,\left( 2 \right)\) (định lí Ta-lét).
Nhân vế theo vế của (1) và (2) ta được
\(\begin{array}{l}\dfrac{{NB}}{{NE}}.\dfrac{{CE}}{{CF}} = \dfrac{{MB}}{{EG}}.\dfrac{{EG}}{{MF}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{NB}}{{NE}}.\dfrac{{CE}}{{CF}} = \dfrac{{MB}}{{MF}}\\ \Leftrightarrow MB.NE.CF = MF.NB.CE\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
