Trên nửa đường tròn đường kính \(AB\), bán kính \(R\). Lấy hai điểm \(I,\,\,Q\) sao cho \(I\)

Câu hỏi số 425172:

Vận dụng

Trên nửa đường tròn đường kính \(AB\), bán kính \(R\). Lấy hai điểm \(I,\,\,Q\) sao cho \(I\) thuộc cung \(AQ\). Gọi \(C\) là giao điểm của hai tia \(AI\) và \(BQ\), \(H\) là giao điểm của hai dây \(AQ\) và \(BI\). Chứng minh rằng:

1. Tứ giác \(CIHQ\) nội tiếp.

2. \(CI.AI = HI.BI\).

3. \(AI.AC + BQ.BC\) luôn không đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425172

Giải chi tiết

1. Tứ giác \(CIHQ\) nội tiếp.

Vì \(\angle AIB,\,\,\angle AQB\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\angle AIB = \angle AQB = {90^0}\).

\( \Rightarrow \angle CIH = \angle CQH = {90^0}\).

Xét tứ giác \(CIHQ\) có: \(\angle CIH + \angle CQH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên \(CIHQ\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (đpcm).

2. \(CI.AI = HI.BI\).

Xét tam giác \(AHI\) và tam giác \(BCI\) có:

\(\angle HAI = \angle CBI\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IQ\)).

\(\angle AIH = \angle BIC = {90^0}\).

\( \Rightarrow \Delta AHI \sim \Delta BCI\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{HI}}{{CI}} = \dfrac{{AI}}{{BI}}\) (hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrow CI.AI = HI.BI\) (đpcm).

3. \(AI.AC + BQ.BC\) luôn không đổi.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,AI.AC + BQ.BC\\ = AC.\left( {AC - IC} \right) + BQ.\left( {BQ + QC} \right)\\ = A{C^2} - AC.IC + B{Q^2} + BQ.QC\\ = A{Q^2} + Q{C^2} - AC.IC + B{Q^2} + BQ.QC\\ = \left( {A{Q^2} + B{Q^2}} \right) + Q{C^2} - AC.IC + BQ.QC\\ = \left( {A{Q^2} + B{Q^2}} \right) + QC.\left( {QC + BQ} \right) - AC.IC\\ = A{B^2} + QC.BC - AC.IC\end{array}\)

Xét \(\Delta AQC\) và \(\Delta BIC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle ICQ\,\,\,chung\\\angle AQC = \angle BIC = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta AQC \sim \Delta BIC\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{QC}}{{IC}}\) (hai cạnh tương ứng)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AC.IC = QC.BC\\ \Rightarrow QC.BC - AC.IC = 0\end{array}\)

Vậy \(AI.AC + BQ.BC = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\) luôn không đổi (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link