Cho hai đường tròn bằng nhau \(\left( {O;\,\,R} \right)\) và \(\left( {O';\,\,R} \right)\) cắt nhau tại hai

Câu hỏi số 425199:

Vận dụng

Cho hai đường tròn bằng nhau \(\left( {O;\,\,R} \right)\) và \(\left( {O';\,\,R} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(AB = R.\) Kẻ đường kính \(AC\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi \(E\) là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ \(BC\,\,\left( {E \ne B,\,\,C} \right).\) \(CB\) và \(EB\) lần lượt cắt đường tròn \(\left( {O'} \right)\) tại các điểm thứ hai là \(D\) và \(F.\)

1) Chứng minh \(\angle AFD = {90^0}.\)

2) Chứng minh \(AE = AF.\)

3) Gọi \(P\) là giao điểm của \(CE\) và \(FD.\) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(AP\) và \(EF.\) Chứng minh \(AP\) là đường trung trực của \(EF.\)

4) Tính tỉ số \(\dfrac{{AQ}}{{AP}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425199

Giải chi tiết

1) Chứng minh \(\angle AFD = {90^0}.\)

Ta có: \(\angle ABC\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ABC = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle ABD = {90^0}\) (hai góc kề bù)

Mà \(\angle ABD\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O';\,\,R} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(AD\) là đường kính của \(\left( {O';\,\,R} \right)\)

Lại có:\(\angle AFD\) là góc nội tiếp chắn cung \(AD\)

\( \Rightarrow \angle AFD = {90^0}\) (đpcm).

2) Chứng minh \(AE = AF.\)

Ta có: \(\angle AEB = \angle ACB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\) của \(\left( O \right)\))

Hay \(\angle AEF = \angle ACD\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\angle AFB = \angle ADB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\) của \(\left( {O'} \right)\))

Hay \(\angle AFE = \angle ADC\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \(AD = AC = 2R\) \( \Rightarrow \Delta ADC\) cân tại \(A\) (định nghĩa tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle ACD = \angle ADC\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\angle AEF = \angle AFE\)

\( \Rightarrow \Delta AEF\) là tam giác cân.

\( \Rightarrow AE = AF\) (tính chất tam giác cân).

3) Gọi \(P\) là giao điểm của \(CE\) và \(FD.\) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(AP\) và \(EF.\) Chứng minh \(AP\) là đường trung trực của \(EF.\)

Ta có: \(AE = AF\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(EF.\) (4)

Xét \(\Delta AEP\) và \(\Delta AFP\) ta có:

\(\begin{array}{l}AE = AF\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle AEP = \angle AFD = {90^0}\\AP\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta AEP = \Delta AFP\,\,\,\left( {ch - cgv} \right)\)

\( \Rightarrow PE = PF\) (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

\( \Rightarrow P\) thuộc đường trung trực của \(EF.\) (5)

Từ (4) và (5) suy ra: \(AP\) là đường trung trực của \(EF.\) (đpcm)

4) Tính tỉ số \(\dfrac{{AQ}}{{AP}}.\)

Ta có: \(AP\) là đường trung trực của \(EF.\) (cmt)

\( \Rightarrow AP \bot EF = \left\{ Q \right\}.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta AFP\) vuông tại \(F\) có đường cao \(FQ\) ta có:

\(\begin{array}{l}A{F^2} = AQ.AP \Rightarrow AP = \dfrac{{A{F^2}}}{{AQ}}\\ \Rightarrow \dfrac{{AQ}}{{AP}} = \dfrac{{A{Q^2}}}{{A{F^2}}}\end{array}\)

Xét \(\Delta AFQ\) vuông tại \(Q\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \angle AFQ = \dfrac{{AQ}}{{AF}} \Rightarrow \sin \angle ADB = \dfrac{{AQ}}{{AF}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{{AQ}}{{AF}}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{AQ}}{{AP}} = \dfrac{1}{4}.\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{{AQ}}{{AP}} = \dfrac{1}{4}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link